lovemathforever99

Số $3^{n}+2009$ với n nguyên dương có chia hết cho 184 hay không? Chứng minh điều mà bạn khẳng định.

Cho PT $x^{2}+\frac{1}{2}x-1=0$, $x_{1},x_{2}$ là 2 nghiệm của PT. Đặt $S_{n}=x_{1}^{n}+x_{2}^{n}$.

 

a. Chứng minh $S_{n+2}=S_{n}-\frac{1}{2}S_{n+1}$

 

b. Chứng minh $|S_{n}|\leq (\frac{3}{2})^{n}$

 

 

P.s: giúp mình câu b   

Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho: 

 

$1^{n}+2^{n}+...+(n-1)^{n}$ chia hết cho $n$

Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1-\frac{9}{16}xy$.Tìm GTLN $P=xy+yz+zx$

 

 

Trong quá trình làm mình thấy có 2 lời giải # đáp số. Phiền các bạn kiểm tra giúp mình cái nào đúng và tại sao cái kia lại sai 

 

Lời giải 1: 

 

Tách $1=\alpha +(1-\alpha )$

 

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{9}{16}xy=1$

$\Leftrightarrow \alpha (x^{2}+y^{2})+ (1-\alpha )x^{2}+\frac{z^{2}}{2}+(1-\alpha )y^{2}+\frac{z^{2}}{2}+\frac{9}{16}xy=1$

 

$VT\geq (2\alpha+\frac{9}{16}) .xy+\sqrt{2(1-\alpha )}yz+\sqrt{2(1-\alpha )}xz$

 

Cần tìm $\alpha$ để các hệ số $xy,yz,zx$ = nhau.

$\Rightarrow 2\alpha +\frac{9}{16}=\sqrt{2(1-\alpha )}\Rightarrow \alpha =\frac{12\sqrt{5}-17}{32}$

$\Rightarrow P\leq \frac{1}{6\alpha }=\frac{16(12\sqrt{5}+17)}{1293}$

 

Lời giải 2:

 

Giả sử dấu = Xảy ra tại $x=y=a,z=b$.

 

$\left\{\begin{matrix} k(x^{2}+y^{2})\geq 2k.xy & & \\ b^{2}y^{2}+a^{2}z^{2}\geq 2ab.yz& & \\b^{2}x^{2}+a^{2}z^{2}\geq 2ab.xz& &\\t.xy=t.xy\end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow xy(2k+t)+2ab.yz+2ab.zx\leq (k+b^{2})(x^{2}+y^{2})+2a^{2}.z^{2}+t.xy$

 

Ta có hệ $\left\{\begin{matrix} 2k+t=2ab & & \\ k +b^{2}=2a^{2}=16/9.t& & \\ 41a^{2}+16b^{2}=16 \end{matrix}\right.$

 

Giải hệ trên ta tìm đc $2b^{2}+2ab-\frac{41}{8}a^{2}=0\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{3\sqrt{5}-2}{4}\Rightarrow a=\sqrt{\frac{8}{45-6\sqrt{5}}}...$

Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=\frac{3}{2}$.

 

Tìm GTNN  $S=x^{3}+y^{3}+z^{3}+x^{2}y^{2}z^{2}$