Tìm kiếm
Nam
Các bài toán về lãi suất thì mình đã học khá kĩ năm lớp 9 rồi, bây giờ lên 11 đang ôn lại để thi (vì thấy đề thi THPT thỉnh thoảng vẫn ra). Tìm các tài liệu về dạng này thì có khá nhiều nhưng hơi rời rạc mà lại chỉ đưa ra công thức là chính, vì vậy mình lập topic này để hệ thống lại các bài toán lãi suất cơ bản (có một vài ví dụ nâng cao) và dĩ nhiên là các công thức đều được xây dựng rõ ràng.
Nói thêm: năm ngoái hình thức thi là thi Online nên thí sinh cũng chỉ cần nắm kĩ cái công thức rồi áp dụng là được. Nhưng năm nay theo như công văn hướng dẫn của bộ thì kì thi sẽ được tổ chức giống như cách đây 2 năm (2013-2014), thí sinh trình bày bài thi trên giấy, thi theo khu vực.
Thêm tý nữa: lần đầu lập topic dài nên còn thiếu kinh nghiệm.
PROBLEM 1: Gửi vào a đồng, lãi r/tháng (lãi tháng trước cộng lãi tháng sau - lãi kép). Tính số tiền có được sau n tháng (cuối tháng thứ n).
Cuối tháng 1, số tiền là: $a+ar=a(1+r)$
Cuối tháng 2: $a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)^{2}$
...
Cuối tháng n: $A=a(1+r)^{n}$
Ví dụ 1: Một người gửi 1 triệu (lãi kép), lãi suất là 0,65%/tháng. Tính số tiền có được sau 2 năm?
Áp dụng CT, sô tiền là: $1000000(1+0,0065)^{24}=1168236,313$
Làm tròn thành: 1168236 (không phải bài nào cũng làm tròn như vậy, cần lưu ý).
PROBLEM 2: Mỗi tháng gửi a đồng (lãi kép - tháng nào cũng gửi thêm vào đầu mỗi tháng), lãi r/tháng. Tính sô tiền thu được sau n tháng.
Cuối tháng 1 có số tiền là: $a(1+r)$
Cuối tháng 2: $[a(1+r)+a](1+r)=a(1+r)^{2}+a(1+r)$
(đầu tháng 2 gửi thêm a đồng, số tiền cuối tháng 2 được tính bằng số tiền đầu tháng 2 + lãi)
Cuối tháng 3: $[a(1+r)^{2}+a(1+r)](1+r)=a(1+r)^{3}+a(1+r)^{2}+a(1+r)$
...
Cuối tháng n: $a(1+r)^{n}+a(1+r)^{n-1}+...+a(1+r)=a(1+r)[a(1+r)^{n-1}+a(1+r)^{n-2}+...+a]$
Suy ra: $A=\frac{a}{r}(1+r)[(1+r)^{n}-1]$
Ví dụ 2: Muốn có 1 triệu sau 15 tháng thì mỗi tháng phải gửi vào ngân hàng bao nhiêu, biết lãi suất 0,6%/tháng.
Với a là số tiền gửi hàng tháng. Áp dụng CT trên ta có: $a=\frac{1000000.0,006}{(1+0,006)[(1+0,006)^{15}-1]}=63530,146$
Đến đây nhiều bạn nghĩ đáp số là 63530 đồng, tuy nhiên nếu gửi số tiền đó mỗi tháng thì sau 15 tháng chỉ thu được GẦN 1 triệu, vậy nên đáp số phải là 63531 đồng (thà dư chứ không để thiếu).
PROBLEM 3: Vay A đồng, lãi r/tháng. Hỏi hàng tháng phải trả bao nhiêu để sau n tháng thì hết nợ (trả tiền vào cuối tháng).
Gọi a là số tiền trả hàng tháng!
Cuối tháng 1, nợ: $A(1+r)$
Đã trả a đồng nên còn nợ: $A(1+r)-a$
Cuối tháng 2 còn nợ: $[A(1+r)-a](1+r)-a=A(1+r)^{2}-a(1+r)-a$
Cuối tháng 3 còn nợ: $[A(1+r)^{2}-a(1+r)-a](1+r)-a=A(1+r)^{3}-a(1+r)^{2}-a(1+r)- a$
...
Cuối tháng n còn nợ: $A(1+r)^{n}-a(1+r)^{n-1}-a(1+r)^{n-2}-...-a=A(1+r)^{n}-a.\frac{(1+r)^{n}-1}{r}$
Để hết nợ sau n tháng thì số tiền a phải trả hàng tháng là: $a=\frac{A.r.(1+r)^{n}}{(1+r)^{n}-1}$
Ví dụ 3: Một người vay 50 triệu, trả góp theo tháng trong vòng 48 tháng, lãi là 1,15%/tháng.
a/ Hỏi hàng tháng phải trả bao nhiêu?
b/ Nếu lãi là 0,75%/tháng thì mỗi tháng phải trả bao nhiêu, lợi hơn bao nhiêu so với lãi 1,15%/tháng.
(cứ áp dụng CT là xong!)
a/ Số tiền phải trả hàng tháng: $\frac{50000000.0,0115.(1+0,0115)^{48}}{(1+0,0115)^{48}-1}=1361312,807$
Tức là mỗi tháng phải trả 1361313 đồng
b/ Sô tiền phải trả hàng tháng: $\frac{50000000.0,0075.(1+0,0075)^{48}}{(1+0,0075)^{48}-1}=1244252,119$
Tức là mỗi tháng phải trả 1244253 đồng
Lợi hơn 117060 đồng
Ví dụ 4 [QG THCS 2013-2014]: Anh A mua nhà trị giá ba trăm triệu đồng theo phương thức trả góp.
a/ Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh A trả 5500000 và chịu lãi số tiền chưa trả là 0,5%/tháng thì sau bao lâu anh trả hết số tiền trên?
b/ Nếu anh A muốn trả hết nợ trong 5 năm và phải trả lãi với mức 6%/năm thì mỗi tháng anh phải trả bao nhiêu tiền? (làm tròn đến nghìn đồng)
a/ Áp dụng CT ta có: $5500000=\frac{300.10^{6}.0,005.1,005^{n}}{1,005^{n}-1}$
Suy ra: $1,005^{n}=1,375\Rightarrow n=63,85...$
Vậy sau 64 tháng anh A trả hết số tiền trên.
b/ Gọi x là số tiên anh a phải trả mỗi năm.
Áp dụng CT: $x=\frac{300.10^{6}.0,06.1,06^{5}}{1,06^{5}-1}=71218920,13$
Suy ra số tiền trả mỗi tháng là: $\frac{71218920,13}{12}=5934910,011$
Làm tròn theo yêu cầu, đáp số: 5935000 đồng
(Bài này là bài năm lớp 9 mình thi, năm đó đội tuyển 5 ông thì hết 3 ông sai câu b, chỉ vì cái tội... quên chia 12. Mất 5đ quá đắng :'( )
PROBLEM 4: Dạng toán lập quy trình bấm phím để tính
Ví dụ 5: [TT Huế THCS 2005-2006] Bố bạn A tặng bạn ấy một máy vi tính trị giá năm triệu đồng bằng cách cho bạn ấy tiền hàng tháng theo phương thức: tháng đầu tiên cho 100000đ, các tháng từ tháng thứ 2 trở đi mỗi tháng nhận được số tiền nhiều hơn tháng trước 20000đ.
a/ Nếu chọn cách gửi tiết kiệm số tiền được nhận hàng tháng với lãi suất 0,6%/tháng thì bạn A gửi bao nhiêu tháng mới đủ mua máy vi tính.
b/ Nếu bạn A muốn có ngay máy vi tính để học bằng phương thức mua trả góp hàng tháng bằng số tiền bố cho với lãi suất ngân hàng là 0,7%/tháng thì bạn A mất bao nhiêu tháng để trả đủ số tiền và tháng cuối cùng trả bao nhiêu?
(Bài này mà lập CT tổng quát thì vẫn được nhưng cực tốn thời gian và dễ nhầm).
a/ Đầu tháng 1 thì số tiền có là: 100000
Đầu tháng 2: $100000.1,006+100000+20000$
Đầu tháng 3: $(100000.1,006+100000+20000).1,006+100000+2.20000$
...
Tức là đầu tháng n có: (số tiền có đầu tháng n-1).1,006+100000+(n-1).20000
Từ đó ta có quy trình bấm phím sau:
Nhập vào màn hình: $X=X+1:A=1,006.A+100000+20000.(X-1)$
Ấn CALC, gán X=1, A=100000. Ấn = = ... đến khi A vươt quá năm triệu.
Ta thấy tại X=18 thì A=5054965,5... nên bạn A cần gửi tiết kiệm trong 18 tháng để mua được máy tính!
b/ Vừa mua xong thì A trả luôn bằng số tiền nhận được ở tháng đó nên đầu tháng 1, số tiền còn nợ là: $5000000-100000=4900000$
(bài này cần hiểu là trả tiền vào đầu mỗi tháng, nếu đầu tháng n trả tiền vào và hết nợ thì có nghĩa là mất n tháng để trả).
Đầu tháng 2, số tiền còn nợ: $490000.1,007-100000-20000$
Đầu tháng 3, số tiền còn nợ: $(490000.1,007-100000-20000).1,007-100000-2.20000$
....
Tức là: số tiền còn nợ đầu tháng n = (số tiền còn nợ đầu tháng n-1).1,007-100000-20000(n-1)
Từ đó ta có quy trình bấm phím sau:
Nhập vào màn hình: $X=X+1:A=1,007.A-100000-20000.(X-1)$
Ấn CALC, gán X=1 A=4900000, ấn = =....
Tại X=19 thì A=84798,45.., có nghĩa là đến đầu tháng 19 thì A còn nợ 84798đ<100000đ nên tức là chỉ cần trả thêm 1 tháng nữa thì sẽ hết nợ.Vậy bạn A mất 20 tháng để trả góp hết nợ, số tiền trả trong tháng 20 là: 84798,45.1,007=85392 đồng
cảm ơn bạn chủ tus, bài viết rất hay
