ngôctử

đề thi Chọn HSG Toán cấp 2 từ NH 1986-1987 đến NH 1994-1995.

Đây là thành quả của 114 phút học và 1140 phút thực hành LaTeX
Mới học nên trình bày chưa đẹp, đừng cười nhé.

đọc sách đêm khuya

Đêm khuya đọc sách phòng trong
Chợt nghe tiếng hát thong dong đường ngoài
Mấy pho sách nát miệt mài
Ngẩn ngơ
một tiếng cười dài
ngẩn ngơ

Thử nghiệm

Chúng tôi đã đến một lớp có khoảng 30 em vừa học xong lớp 4, cho một bài kiểm tra gồm bài toán trên thêm vài bài toán khác để các em làm trong một tiết. Trên cơ sở bài kiểm tra ây, chúng tôi loại ra các em nắm chưa được vững các bài toán đơn (bài toán chỉ giải bằng một phép tính), cùng các em có dấu hiệu đã biết dạng toán này (dẫu làm được bài hay không - để khỏi bị nhiễu), còn lại khoảng gần 15 em lập thành một lớp để dạy thử.

Mở đầu chúng tôi mời A lên trình bày lại bài giải của em lên bảng:

Một con chó và một con gà có: 4 + 2 = 6 (chân)
Số chó là: 100: 6 = 16 (con),
Còn thừa 4 chân, vị chi là một con chó. Vậy số chó có là: 16 + 1 = 17 (con)
Số gà là: 36 – 17 = 19 con.

Trừ vài em bỏ trắng bài làm này, các em còn lại đều giải đại khái như em A.
Rõ ràng các em mắc những lỗi nặng: xử lí bài toán như một bài toán về tỉ lệ thuận (cứ 6 chân thì có 4 chân của chó hay nói cách khác cứ có 6 chân thì có 1 chó … ), sau đó lại gán ghép tùy tiện 4 chân dư cho chó (dấu vết của những câu đố mẹo kiểu Chia 17 trâu cho 3 người theo tỉ lệ 1/2, 1/3 và 1/9 … ?). Nhưng có lẽ tạm thời ta chưa cần phân tích những sai lầm ấy, mà hãy thử giúp em giải bài toán trước đã.

GV: Bạn A giải đúng chưa các em?
HS: ???
GV: Muốn biết bạn A giải đúng hay sai ta làm thế nào?
HS: Ta phải thử lại.
A : Em thử lại: 17 chó + 19 gà có 17 x 4 + 19 x 2 = 106 chân. Em giải sai ạ
GV: Sao em biết sai?
A : Vì số chân em tính được nhiều hơn số chân đề bài cho.
GV: Bị thừa ra bao nhiêu chân?
A : Bị thừa ra 106 – 100 = 6 chân
GV: Vì sao bị thừa ra 6 chân?
A : ???
GV: Em có 36 con (17 chó + 19 gà). Đề bài cũng có 36 con Thế tại sao số chân gà chó của em nhiều hơn?
A : ( suy nghĩ ). Số chó của em nhiều hơn, nên số chân mới bị dôi ra.
GV: Đúng rồi. Dôi ra bao nhiêu con?
A : ???
GV: Nếu số chó của em nhiều hơn số chó của đề bài một con thì số chân bị dôi ra ra là bao nhiêu?
A : 4 chân ?
GV: Không đúng. Em chú ý nếu em nhiều hơn 1 con chó thì đồng thời em lại bị ít hơn 1 con gà.
A : Vì thế nếu số chó của em nhiều hơn một con thì chỉ dôi ra: 4 – 2 = 2 chân.
GV: Ở đây em bị dôi ra đến 6 chân …
A : … nên số chó của em nhiều hơn số cho của đề bài là: 6: 2 = 3 con.
Vậy số chó phải tìm là: 17 – 3 = 14 con, số gà là 36 – 14 = 22 con.
GV: Em giải đúng chưa?
A : Em thử lại: 14 x 4 + 22 x 2 = 100. Đúng ạ.

GV: Em trình bày lại bài giải để các bạn dễ theo dõi. Em có thể bắt đầu như thế này:
Giả sử em có 36 con gồm 17 chó và 19 gà …
A : Giả sử em có 36 con gồm 17 chó và 19 gà.
Tổng số chân bầy chó gà của em là: 17 x 4 + 19 x 2 = 106 (chân)
Số chân bị dôi ra là 106 – 100 = 6 (chân)
Sở dĩ bị dôi ra vì số chó của em nhiều hơn số chó phải tìm.
Cứ nhiều hơn 1 chó thì số chân bị dôi ra là: 4 – 2 = 2 (chân)
Số chó của em nhiều hơn số chó phải tìm là: 6 : 2 = 3 (con)
Số chó phải tìm là: 17 – 3 = 14 (con)
Số gà là 36 – 14 = 22 (con)
Đáp số: 14 chó, 22 gà

GV: Vâng, cảm ơn em.
Bạn A từ một bài giải sai ban đầu, đã phân tích cái sai của mình, tìm cách sửa chữa và đã đi đến một đáp số đúng. Còn em nào đã giải sai và muốn thử phân tích để sửa lại không?
Vâng, mời em B.
B : Giả sử em có 36 con gồm 25 chó và 11 gà.
…
(Sau khi em B tìm được đáp số đúng xong )

GV: Bạn A giả sử có 17 chó + 19 gà; bạn B giả sử có 25 chó + 11 gà. Cả hai đã lập luận để tìm ra được đáp số bài toán. Có em nào muốn giả sử với những số khác không?

Dễ tưởng tượng ra cảnh các em nhao nhao đưa ra những cặp số để thử. Và không khó khăn gì để gợi ý cho các em cặp số đẹp :36;0 (36 chó + 0 gà hoặc 36 gà + 0 chó) - cặp số giúp giảm đi được 1 phép tính nhân. Từ đó đưa ra bài giải mẫu theo truyền thống như đã trình bày ở trên.


Trên đây là một tiết dạy thử theo yêu cầu của bạn bè. Nhớ lại trước đây có lần trên diễn đàn cũng có bạn hỏi Tại sao dđ toán không có toán cấp I? nên nhân tiện xin đưa lên luôn. Rất mong được sự góp ý của mọi người.

Dạy bài toán giả sử ở cấp I

Bài toán

Trong một lần nói chuyện, nhân nhắc đến nhận định của W.W.Sawyer ìKhông có gì hủy hoại những khả năng toán học bằng thói quen tiếp nhận những phương pháp giải có sẵn mà không hề tự hỏi vì sao cần giải đúng như thế và làm thế nào để có thể tự nghĩ ra điều đó ì , mấy người bạn là GV cấp I có hỏi: Tư tưởng này nên vận dụng như thế nào vào bài toán cụ thể sau:

Vừa gà vừa chó
Có 36 con
Bó lại cho tròn
100 chân chẵn
Hỏi có mấy gà, mấy chó ?

Các cách giải truyền thống

Đây là bài toán cổ quen thuộc, có trong SGK Toán 6 cũ (trước 2002). Với học sinh lớp 8, 9 bài toán giải được dễ dàng bằng cách đưa về một (hệ) phương trinh bậc nhất, nhưng với học sinh lớp 5,6 đây là bài toán khó, điển hình cho dạng toán giả sử , thường chỉ dành cho hs khá giỏi.
Dạng toán sở dĩ có tên gọi như thế vì khi giải dạng toán này, bài giải thường bắt đầu bằng câu: Giả sử rằng …. Cụ thể với bài toán trên, bài giải thường được trình bày như sau:

Giả sử cả 36 con đều là chó cả, khi đó tổng số chân có là: 36 x 4 = 144 (chân)
Số chân bị dôi ra là 144 – 100 = 44 (chân)
Sở dĩ như vậy do số chân của mỗi con gà bị tính dôi ra là: 4 – 2 = 2 (chân)
Vậy số gà là: 44:2 = 22 (con)
Số chó là: 36 – 22 = 14 (con)
(Trích: Những phương pháp giải toán cấp I, Đỗ Trung Hiệu – Vũ Dương Thụy, ĐHSP HN I 1986, trg 51 )

Đã qua nhiều năm tôi vẫn còn nhớ cái cảm giác chưng hửng khi lần đấu gặp bài toán này, bó tay và rồi được thấy cho bài giải Giả sử .. . Cái Giả sử trời ơi này từ đâu ra thế?
Hình như để tránh cái Giả sử đột ngột kia, và cũng để tạo ấn tượng, một số tác giả đưa ra cách giải Gắn thêm cho mỗi con gà 2 chân, khi đó tổng số chân là … hoặc Bắt mỗi con chó đều gác hai chân lên bàn … . Ấn tượng thì có ấn tượng thật, nhưng vẫn cái cảm giác gượng ép, đột ngột từ trên trời rơi xuông

Một số tác giả khác đưa ra cách giải bằng sơ đồ:

Biểu thị số chó bằng một hình tam giác, số gà bằng một hình tròn.
Như thế ta có 1 tam giác + 1 hình tròn = 36,
Số chân chó + số chân gà = 4 tam giác + 2 hình tròn = 100
Thay 2 tam giác + 2 hình tròn = 72, còn lại 2 tam giác = 100 – 72 = 28 …

Thực chất cách giải này là giải một hệ phương trinh bậc nhất trong đó hai ẩn x, y thông thường được thay bằng các hình vẽ tam giác, hình tròn. Nhìn chung vẫn là cách giải truyền thống: phỏng theo cách giải đại số để giải bài toán số học.
Học sinh buộc phải chấp nhận học thuộc bài giải mẫu, rồi mỗi khi gặp bài tương tự thì cứ máy móc Giả sử rằng … mà không hề biết và cũng không hề được ai giải thích cho Tại sao phải giả sử như thế và nhất là Làm thế nào để tự nghĩ ra điều đó ? .

Học sinh cấp I không có một nhu cầu bức thiết nào buộc phải biết cách giải dạng toán này hay dạng toán nọ. Mọi bài toán đố đều cần được xem như những trò chơi trí tuệ, nhằm rèn luyện trí tuệ … Thế nên, có lẽ thà không dạy còn hơn là bắt các em chấp nhận máy móc một cách giải mà không biết tại sao phải làm đúng như thế vì như W.W Sawyer nhận xét điều đó chỉ làm thui chột khả năng cũng như lòng ham mê toán học của các em.
Vậy thì với bài toán trên đây, có thể giải thích điều đó cho học sinh như thế nào, để việc dạy bài toán thực sự đem lại một lợi ích nào đó cho các em? Hay là nên bỏ đi, đợi vài năm nữa khi các em đã biết lập phương trinh rồi hãy dạy?