Bài toán 31 (Võ Quốc Bá Cẩn). Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=5$. Chứng minh$$a^2b+c^2a+2abc \leq 20.$$
Lời giải bài 31. Đặt $f(a,b,c)=a^2b+c^2a+2abc$
Ta xét $2$ trường hợp.
Nếu $a \geqslant c$, ta sẽ chứng minh
$$f(a,b,c) \leqslant f(a,b,a)$$
$$\Leftrightarrow (a-c)(a+c+2b) \geqslant 0$$
Nếu $a \leqslant c$, ta sẽ chứng minh
$$f(a,b,c) \leqslant f(c,b,c)$$
$$\Leftrightarrow b(c^2-a^2)+c^2(c-a)+2bc(c-a) \geqslant 0$$
Do đó ta chỉ cần chứng minh BĐT trong trường hợp $a=c=\frac{5-b}{2}$
$$\Leftrightarrow \left ( \frac{5-b}{2}\right )^2b+\left ( \frac{5-b}{2} \right)^3+2b\left (\frac{5-b}{2} \right )^2 \leqslant 20$$
$$\Leftrightarrow b^3-9b^2+15b-7 \leqslant 0$$
$$\Leftrightarrow (b-7)(b-1)^{2} \leqslant 0$$
BĐT cuối luôn đúng do $b<5$
Bài toán được chứng minh. Xảy ra đẳng thức khi $a=c=2,b=1$
Bài toán 32. (Vasile Cirtoaje) Cho các số thực dương $a,b,c,d$. Chứng minh rằng
$$2(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)(d^3+1) \geqslant (1+abcd)(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)(1+d^2)$$
- hoanglong2k yêu thích