Nguyen Minh Hai

Một n-giác đều được chia thành các tam giác bởi $n-3$ đường chéo không cắt nhau trừ tại đỉnh. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu tam giác không đồng dạng với nhau.

Chứng minh rằng tồn tại tập hợp $A$ có $2016$ phần từ là các số nguyên dương sao cho với mọi tập $X\subset A, X \neq \varnothing$ thì ta có $\sum_{x \in X} x$ là lũy thừa với số mũ nguyên lớn hơn $1$ của một số nguyên dương nào đó.

Ta gọi một số nguyên dương là "tốt" nếu tổng các ước số của số đó là số chính phương. Tính tổng tất cả các số "tốt" không vượt quá 2016

Ta định nghĩa hình vuông "tốt" là một hình vuông có $4$ đỉnh là các điểm nguyên, đồng thời các đoạn thẳng nối tâm $O$ với tất cả các điểm nguyên trên biên và trong hình vuông chứa ít nhất một điểm nguyên khác hai đầu mút. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ đều tồn tại một hình vông tốt dạng $n.n$

Cho dãy $(p_n)$ là dãy các số nguyên tố thỏa mãn với mọi $n \geqslant 3$ thì ta có $p_n$ là ước nguyên tố lớn nhất của $p_{n-1}+p_{n-2}+2000.$.

Chứng minh rằng dãy $(p_n)$ bị chặn trên.