firetiger05

Ta có $2P=\sum \frac{2}{a^2+b^2+2}=3-\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}$

 

Áp dụng BĐT S.Vac

 

$\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\geqslant \frac{(\sum \sqrt{a^2+b^2})^2}{2(a^2+b^2+c^2+3)}=\frac{(a^2+b^2+c^2)+\sum \sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}}{a^2+b^2+c^2+3}$

 

Ta sẽ chứng minh $\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\geqslant \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{(a^2+b^2+c^2)+\sum \sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}}{a^2+b^2+c^2+3}\geqslant \frac{3}{2}$

 

$\Leftrightarrow 2\sum \sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}\geqslant a^2+b^2+c^2+9$. BĐT này luôn đúng vì theo Bunhiacopxki thì

 

$2\sum \sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}\geqslant 2\sum (b^2+ac)\geqslant a^2+b^2+c^2+3\sum ab=a^2+b^2+c^2+9$

 

Do đó $2P\leqslant 3-\frac{3}{2}\rightarrow P\leqslant \frac{3}{4}$

Sao nghĩ ra được mấy cái đó ấy ?

5a) Nhân 2 lên sau đó làm giống bài 5b

7.b) Đặt $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a$

BĐT <=> $a^{2}-2-a=(a-2)(a+1)\geq 0$ ( Vì a $\geq$ 2)
c) T.Tự
8.http://diendantoanho...c21frac1c12a21/
9. a) bình phương 2 vế
b) Đâu rồi @@

10. BĐT phụ : $a^{5}+b^{5}\geq a^{2}b^{2}(a+b)=> a^{5}+b^{5}+ab \geq a^{2}b^{2}(a+b+c)=> \frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}\leq \frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{c}{a+b+c}$.

Thiết lập các BĐT t.tự sau đó cộng vế suy ra đpcm.

Từ PT 1 ta có : $\Delta = (3y+1)^{2}\rightarrow x=\frac{y-1-(3y+1)}{2}=-y-1$

                                                                    $x=\frac{y-1+3y+1}{2}=2y$ 
Rồi thay vào PT (2) giải.Ok!

$\Leftrightarrow (x-2y)^{2}+(y+1)^{2}=4\Leftrightarrow (y+1)^{2}\leq 4\Leftrightarrow y+1\geq -2\Leftrightarrow y\geq -3$

Dấu = xảy ra <=> x=2y=-6 

P/s : hehe đúng rồi

Tìm nghiệm dương.

$(1-x-\sqrt{x^{2}-1})^{2007}+(1+x+\sqrt{x^{2}-1})^{2007}=2^{2008}$

Cho a,b,c,d là các số thực không âm, không có 3 số nào đồng thời bằng 0. 

CMR: $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{a+c+d}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+d}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\geq 2$

Cách này có vẻ hay hơn.

Ta có : $\sqrt{\frac{b+c+d}{a}}\leq \frac{\frac{b+c+d}{a}+1}{2}=\frac{a+b+c+d}{2a}\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2a}{a+b+c+d}$

Thiết lập các BĐT tượng tự rồi cộng vế => đpcm

Bài 1 : a) $a^{3}+b^{3}+3ab=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}=1$

b) $1=x+2y\geq 2\sqrt{2xy}\Leftrightarrow \frac{1}{2}\geq \sqrt{2xy}\Leftrightarrow \frac{1}{4}\geq 2xy\Leftrightarrow xy\leq \frac{1}{8}$

Bài 3:b)

Áp dụng BĐT phụ : $\frac{1}{x+y}\leq \frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}$ ta có: 

$\sum \frac{1}{c+1}=\sum \frac{1}{(c+a)+(c+b)}\leq \frac{1}{4(c+a)}+\frac{1}{4(c+b)}\Leftrightarrow \sum \frac{ab}{c+1}\leq \sum (\frac{ab}{4(c+a)}+\frac{ab}{4(c+b)})=\frac{1}{4}$.

ĐK : $x\leq 1$

Đặt : $1-x=a$( a$\geq 0$ )

        $2-x=b$( b $\geq 0$ )

PT <=> $\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}=\sqrt[4]{a+b}$

     <=> $\sqrt[4]{ab}(4\sqrt{a}+6\sqrt[4]{ab}+4\sqrt{b})$=( mũ 4 lên )

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=0 & & \\ b=0& & \end{bmatrix}$

=> x = 1 

Đặt $17\sqrt{5}-38=(a\sqrt{5}+b)^{3}\Leftrightarrow a^{3}5\sqrt{5}+15a^{2}b+ab^{2}3\sqrt{5}+b^{3}=17\sqrt{5}-38\Leftrightarrow \sqrt{5}(5a^{3}+ab^{2})+(15a^{2}b+b^{3})=17\sqrt{5}-38\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 5a^{3}+ab^{2} & =17\\ 15a^{2}b+b^{3} & =-38 \end{matrix}\right.$ Sau đó GHPT là ra

P/s: HPT đó mình chưa giải được bạn thông cảm

Đây là HPT đối xứng loại II . Đặt a=tb ta có:

$\left\{\begin{matrix} b^{3}(5t^{3}+1)=17 & & \\ b^{3}(15t^{2}+1)=-38& & \end{matrix}\right.$

Chia theo vế 2 pt và thu được : $190t^{3}+105t^{2}+38t+1=0$

Bấm máy ra nghiệm.Nhưng ngiệm vô tỉ @@

P/s : @Hamhoctoan: cái dạng số phức tạp như thế này mình ko cần phân tích ra mũ 3 đâu.

Chắc nó phải có cái gì đặc biết như lập phương lên chẳng hạn.

Giải phương trình :$2x^2+2x+2=\sqrt{3x^3+2x^2+2}+\sqrt{-3x^3+x^2-1+2x}$

Chắc đoạn này thừa à bạn ơi ?

Đặt : $2x^{3}-x+2=a$

        $x^{3}+2x=b$

PT <=> $3^{a}-3^{b}+a-b$ =0 

..Nếu a > b => VT > 0

..Nếu a < b => VT < 0

=> a=b

Đến đây là ổn rồi.....

Kể cả là $b$ tôi vẫn chưa hiểu, bạn giải thích giùm đi

$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\leq \frac{2}{\sqrt{xy}+1}\rightarrow \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\leq \frac{3}{\sqrt[3]{xyz}+1}\rightarrow \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{1}{t+1}\leq \frac{4}{\sqrt[4]{xyzt}+1}$

Mình lấy mấy VD đó tự hiểu nhá   

P/s : mới sửa lại đó

Anh ơi tại sao từ bđt $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\leq \frac{2}{\sqrt{xy}+1}$ lại suy ra đc 

$\frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{c^3+1}\leq \frac{3}{1+ab^2}$ chỉ em với em cảm ơn ạ

chỗ đó là b nhá. Chắc hiểu rồi chứ ?

Bài 154: Cho a,b,c >0 thỏa mãn : a+b+c=3

Chứng minh: $\sum \frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\leq 1$

ĐK : $x\leq -3;x\geq -1$

PT <=> $\sqrt{x+1}(\sqrt{x+3}+\sqrt{x}-\sqrt{3x+1})=0$

Đến đây là ok rồi.