$$(a,b,c)=(x^2,y^2,z^2)$$
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta thu được:
$$\left(\sum \sqrt{\frac{x^2}{8y^2+z^2}}\right)\left(\sum x\sqrt{8y^2+z^2}\right) \geqslant (x+y+z)^2$$
Giờ cần chứng minh:
$$(x+y+z)^2\geqslant x\sqrt{8y^2+z^2}+y\sqrt{8z^2+x^2}+z\sqrt{8x^2+y^2}$$
Dùng hệ số phụ để thiết lập, chứng minh:
$$\sqrt{8y^2+z^2} \leqslant 3y+z-\frac{3yz}{2y+z}$$
Ta quy về việc chứng minh:
$$3xyz\sum \frac{1}{2y+z}+\sum x^2-2\sum yz \geqslant 0$$
$$\sum \frac{1}{2y+z} \geqslant \frac{3}{x+y+z}$$
Vì vậy ta cần chứng minh:
$$x^2+y^2+z^2+\frac{9xyz}{x+y+z}\geqslant 2(x+y+z)$$
Đây chính là bất đẳng thức Schur bậc 3.
Spam tí: Vừa chiều nay trong giờ học hình em cũng vừa nghĩ ra cách y hệt anh =)) Đang định post thì....
- nguyenhongsonk612 yêu thích