Dinh Xuan Hung

        Sở GD&ĐT Ninh Bình                                                ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC

                                                                                                HỌC SINH GIỎI DỰ THI QUỐC GIA 

        ĐỀ THI CHÍNH THỨC                                                                  Năm học:2016-2017

                                                                                                                  Môn:Toán

                                                                                                         Ngày thi:28/10/2016

                                                                                      (Thời gian 180 phút , không kể thời gian phát đề)

                                                                                                  Đề thi gồm 05 câu,trong 1 trang

 

Câu 1 (4,0 điểm)

 

Cho $a$ và $b$ là hai số thực thuộc khoảng $(0;1)$ . Dãy số $(u_n)$ được xác định như sau:

 

$$\left\{\begin{matrix} u_0=a & & & \\ u_1=b & & & \\ u_{n+2}=\dfrac{1}{2017}u_{n+1}^4+\dfrac{2016}{2017}\sqrt[4]{u_n}\forall n \in N & & & \end{matrix}\right.$$

 

Chứng minh rằng: dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn.Tìm giới hạn đó

 

Câu 2 (4,0 điểm).Tìm tất cả các hàm số $f:\left ( 0;+\infty \right )\rightarrow \left ( 0;+\infty \right )$ thỏa mãn:

 

$$f\left ( xf\left ( x \right ) \right )=\frac{9}{xf\left ( x \right )}+\frac{2}{f\left ( x \right )}-1\forall x>0$$

 

Câu 3 (4,0 điểm)

 

Giả sử $q$ là một số nguyên tố , dãy $(u_n)$ được xây dựng như sau:

 

$$\left\{\begin{matrix} u_0=0 & & & \\ u_1=1 & & & \\ u_n=2u_{n-1}-qu_{n-2}\forall n\geq 2,n \in \mathbb{N} & & & \end{matrix}\right.$$

 

Tìm $q$ , biết tồn tại số tự nhiên $k$ để $u_{3k}=-3$

 

Câu 4 (4,0 điểm)

 

Cho tam giác $ABC$ và điểm $D$ di động trên đoạn $BC$ (không trùng với $B$ và $C$ ).Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ cắt đường thẳng $AC$ tại $F$ khác $A$.Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ cắt đường thẳng $AB$ tại $E$ khác $A$

 

a)Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng $BF$ và $CE$ luôn di chuyển trên một đường cố định khi $D$ di động trên đoạn $BC$

 

b)Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ luôn đi qua một điểm cố định

 

Câu 5 (4,0 điểm)

 

a)Có $2016$ là thư khác nhau và $2016$ phong bì ghi sẵn địa chỉ khác nhau.Hỏi có bao nhiêu cách cho mỗi lá thư vào một phong bì sao cho có ít nhất một lá thư được ghi đúng địa chỉ?

 

b)Có bao nhiêu cách lát đường đi hình chữ nhật kích thước $3\times 2n$ ($n$ là số nguyên dương) bằng các viên gạch hình chữ nhật kích thước $1 \times 2$

 

Hết

Câu hàm điều kiện (3) và câu a  kì vậy, có phải sai đề ko nhỉ 

Đề đúng rồi nhé

 

Ngày $2$:

Bài $5$: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $\sum x=3$. CMR: $\sum\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\geq 4\sum\frac{1}{x+7}$

 

 

$\sum \frac{4}{x+7}=\sum \frac{4}{(x+y+2)+(x+z+2)}\leq \sum \frac{2}{x+y+2}=\sum \frac{2}{(x+1)+(y+1)}\leq \sum \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$

Câu 1

 

$P=\sum \frac{\sqrt{a^2-ab+b^2}}{\sqrt{ab}+1}\geq \sum \frac{\dfrac{1}{2}(a+b)}{\dfrac{a+b}{2}+1}=\sum \frac{a+b}{a+b+2}$

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} a+b=x & & & \\ b+c=y & & & \\ c+a=z & & & \end{matrix}\right.\Rightarrow xyz=1$

 

Đặt $\left ( x;y;z \right )\rightarrow \left ( \frac{m}{n};\frac{n}{p};\frac{p}{q} \right )$

 

$\Rightarrow P\geq \sum \frac{x}{x+2}=\sum \frac{\dfrac{m}{n}}{\dfrac{m}{n}+2}=\sum \frac{m}{m+2n}=\sum \frac{m^2}{m^2+2mn}\geq \frac{(m+n+q)^2}{(m+n+q)^2}=1$

 

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2016-2017

Môn : TOÁN

Thời gian: 180 phút ( không kể phát đề)

 

 

 

Câu 4:  Cho $a,b,c$  là các số thực dương  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P = \frac{{1344}}{{a + \sqrt {ab}  + \sqrt[3]{{abc}}}} - \frac{{2016}}{{\sqrt {a + b + c} }}$

 

 

 

AM-GM:

 

$a+4b\geq 4\sqrt{ab}\Leftrightarrow \frac{a+4b}{4}\geq \sqrt{ab}$

 

$a+4b+16c\geq 12\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow \frac{a+4b+16c}{12}\geq \sqrt[3]{abc}$

 

$\Rightarrow a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}\leq \frac{4}{3}(a+b+c)$

 

$\Rightarrow P\geq \frac{1008}{t^2}-\frac{2016}{t}(0<t=\sqrt{a+b+c})$

 

Khảo sát hàm F(t) để tìm min

 

Đề vòng 2

 

Câu 1. Cho $x,y,z>0$ thỏa $\sum x =\sum \frac{1}{x}$
Chứng minh rằng :

$$\sum \frac{1}{(2xy+yz+zx)^2} \le \frac{3}{16x^2y^2z^2}$$

 

 

 

 

Đổi biến : $(x;y;z)\rightarrow \left ( \frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c} \right )$

 

$\Rightarrow a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

 

$\Rightarrow ab+bc+ac=abc(a+b+c)\leq \frac{(ab+bc+ac)^2}{3}$

 

$\Rightarrow ab+bc+ac\geq 3$

 

Khi đó:BĐT cần chứng minh trở thành:

 

$$\sum \frac{(abc)^2}{(a+b+2c)^2}\leq \frac{3(abc)^2}{16}$$

 

$$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{(a+b+2c)^2}\leq \frac{3}{16}$$

 

$$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{\left [ (a+c)+(b+c) \right ]^2}\leq \frac{3}{16}$$

 

Mặt khác:

 

$$\sum \frac{1}{\left [ (a+c)+(b+c) \right ]^2}\leq \sum \frac{1}{4(a+c)(b+c)}$$

 

Ta cần CM:

 

$$\frac{1}{(a+b)(b+c)}+\frac{1}{(b+c)(c+a)}+\frac{1}{(a+c)(a+b)}\leq \frac{3}{4}$$

 

$$\Leftrightarrow 3\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\geq 8(a+b+c)(*)$$

 

Ta có BĐT quen thuộc : $\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\geq \frac{8}{9}(ab+bc+ac)(a+b+c)\geq \frac{8}{3}(a+b+c)$

 

$\Leftrightarrow 3(a+b)(b+c)(a+c)\geq 8(a+b+c)$

 

Do đó BĐT (*) luôn đúng $\Rightarrow \boxed{\textrm{ĐPCM}}$

Một khi Bộ đã thay đổi thì chúng ta phải theo thôi nói thật mình vẫn thích toán tự  luận hơn

Tiếp theo: 

Bài 25:Cho $x,y$ thỏa mãn: $x-3\sqrt{x+1}=3\sqrt{y+2}-y$. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: $P=x+y$.

Bài 26: Trong các nghiệm $(x;y)$ của hệ:$\left\{\begin{matrix} x+y\le 2\\ x^2+y^2+xy=3  \end{matrix}\right.$, hãy tìm nghiệm sao cho $x^2+y^2-xy$ đạt GTLN,GTNN.

Bài 25:

 

$\left ( \sqrt{x+1}+\sqrt{y+2} \right )^2\leq 2\left ( x+y+3 \right )\Leftrightarrow \frac{\left ( x+y \right )^2}{9}\leq 2(x+y)+6\Leftrightarrow (x+y)^2-18(x+y)-54\leq 0\Leftrightarrow 9-3\sqrt{15}\leq x+y\leq 9+3\sqrt{15}$

 

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN LẦN 1

NĂM HỌC 2016-2017

Bài 1(4 điểm):

$1)$ Lập công thức tính $a^5+b^5$ theo $S=a+b$ và $P=ab$

$2)$ Giải phương trình $(x^5+10x^3+22x-4)^3+3x^5+22x^3+64x=2\sqrt[3]{-x^5-2x^3-20x+4}+12$

 

 

 

2)Ta có :$(x^5+10x^3+22x-4)^3+3x^5+22x^3+64x=2\sqrt[3]{-x^5-2x^3-20x+4}+12$

 

$\Leftrightarrow \left ( x^5+10x^3+22x-4 \right )^3+2\left ( x^5+10x^3+22x-4 \right )=\left ( -x^5-2x^3-20x+4 \right )+2\sqrt[3]{-x^5-2x^3-20x+4}$

 

Xét hàm số : $f(t)=t^3+2t\Rightarrow f'(t)=3t^2+2>0\Rightarrow \textrm{Hàm số f(t) đồng biến trên R}$

 

$\Rightarrow x^5+10x^3+22x-4=\sqrt[3]{-x^5-2x^3-20x+4}$

 

$\Leftrightarrow \left ( x^5+2x+20x-4 \right )+\sqrt[3]{x^5+2x^3+20x-4}=(-2x)^3+(-2x)$

 

Xét hàm số $f(t)=t^3+t\Rightarrow f'(t)=3t^2+1>0\Rightarrow \textrm{Hàm số f(t) đồng biến trên R}$

 

$\Rightarrow x^5+2x+22x-4=0$

 

P/s:Ai cho ý kiến về PT cuối không?

 

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN LẦN 1

NĂM HỌC 2016-2017

 

Bài 4 (4 điểm):

$1)$ Cho các số thực dương $a,b,c$ mà $abc=1$.Chứng minh rằng $\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\le 1$

 

 

Do $abc=1$ nên đổi biến $\left ( a;b;c \right )\rightarrow \left ( \frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x} \right )(x,y,z>0)$

 

Khi đó BĐT cần chứng minh tương đương với:

 

$\frac{1}{2+\dfrac{x}{y}}+\frac{1}{2+\dfrac{y}{z}}+\frac{1}{2+\dfrac{z}{x}}\leq 1$

 

$\Leftrightarrow \frac{y}{x+2y}+\frac{z}{2z+y}+\frac{x}{2x+z}\leq 1$

 

$\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{1}{2}-\frac{y}{2y+x} \right )\geq \frac{1}{2}$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{x}{x+2y}\geq 1$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{x^2}{x^2+2xy}\geq 1$ 

 

Mặt khác : Áp dụng BĐT $C-S$ ta được:

 

$\sum \frac{x^2}{x^2+2xy}\geq \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2}=1\Rightarrow ĐPCM$

Đáp án chính thức của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo môn Toán THPT QG năm 2016

 

 DaToanCt-QG-K16-pdf.pdf   320.92K   186 Số lần tải

 

 

hình như chị làm vội quá nên không để ý luôn vì không sử dụng đến :v

Không sao đâu chị nếu chị không sử dụng gì đến MN vuông góc với AC thì không bị làm sao cả ! Chị làm bài có tốt không?

đề có cho MN có vuông góc AC đâu cậu 

 

Do số liệu mà MN vuông góc với AC đó chị !

 

Ta có: $\overrightarrow{MN}\left ( 2;-2 \right )$

 

VTCP của (AC) là $\overrightarrow{u}\left ( -1;-1 \right )$

 

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{u}=0\Rightarrow MN\perp AC$

Topic này dùng để post đề thi môn Toán kì thi THPTQG 2016. Ngay khi có đề, các mem hãy đăng vào đây, tránh đăng tràn lan ( có cả ảnh và đánh máy để tiện theo dõi thì càng tốt).

Nếu có ai đăng đề ngoài topic này, các ĐHV THPT hãy ghép chúng vào đây.

Chém gió về các vấn đề bên lề của Kì thi tại đây

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2016

ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi : Toán
(Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài : 180 phút , không kể thời gian giao đề

Câu 10 ( 1,0 điểm).Xét các số thực $x,y$ thỏa mãn $x+y+1=2\left ( \sqrt{x-2}+\sqrt{y+3} \right )(*)$

1.Tìm giá trị lớn nhất của $x+y$

2.Tìm $m$ để $3^{x+y-4}+\left ( x+y+1 \right ).2^{7-x-y}-3\left ( x^{2}+y^{2} \right )\leq m$ đúng với mọi $x,y$ thỏa mãn $(*)$

HẾT

1.Áp dụng BĐT $C-S$ ta có:$\left ( \sqrt{x-2}+\sqrt{y+3} \right )^2\leq 2\left ( x-2+y+3 \right )=2\left ( x+y+1 \right )$

$\Rightarrow \sqrt{x-2}+\sqrt{y+3}\leq \sqrt{2}.\sqrt{x+y+1}$

Đặt $\sqrt{x+y+1}=t(t\geq 0)$

Khi đó thay vào (*) ta có:$\frac{t^2}{2}\leq \sqrt{2}t\Rightarrow 0\leq t\leq 2\sqrt{2}\Rightarrow 0\leq x+y+1\leq 8\Rightarrow -1\leq x+y\leq 7(**)$

Dấu bằng xảy ra khi $x=6$ và $y=1$ thỏa mãn (*) và GTLN =7

2.Có $\left ( x+y+1 \right )^2=4\left ( x+y+1+2\sqrt{x-2}.\sqrt{y+3} \right )\geq 4\left ( x+y+1 \right )\Rightarrow \begin{bmatrix} x+y\geq 3 & & \\ x+y\leq -1 & & \end{bmatrix}$

Kết hợp với (**) $\begin{bmatrix} 3\leq x+y\leq 7 & & \\ x+y=-1 & & \end{bmatrix}$

Với $x+y=-1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x-2}\sqrt{y+3}=0 & & \\ x+y=-1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2 & & \\ y=-3 & & \end{matrix}\right.$

Khi đó:$P=-\frac{9746}{243}$

Với $x+y\in[3;7]$ đặt $x+y=t\in[3;7]$ ,khi đó:$3^{x+y-4}+(x+y+1)2^{7-x-y}=3^{t-4}+\left ( t+1 \right )2^{7-t}$

Đạo hàm $f(t)$ ta sẽ thấy $f(t)$ nghịch biến trên $[3;a]$ và đồng biến trên $[a;7]$ với $f'(a)=0$

$\rightarrow f(t)\leq f(3)=\frac{193}{3}\forall t\in\left [ 3;7 \right ]$

Ta có:
Với $x\in[2;3]$
$\rightarrow y\geq 0$

$x^{2}+y^{2}\geq x^{2}+\left ( 3-x \right )^2=\frac{3}{2}\left ( x-2 \right )^2+\frac{x^2}{2}+3\geq 5(x+y\geq 3;x\geq 2)$

Với $x> 3\Rightarrow x^2+y^2>9$
Vậy $P\leq \frac{193}{3}-3.5=\frac{148}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi $x=2;y=1$

Vậy $m=\frac{148}{3}$

https://www.overleaf...ad/xbgrkhjvmgbq
 

Cho mình hỏi câu hơi ngu một tí, đây là đề thầy hungchng post bên bên topic bạn Đinh Hùng , đây liệu có phải đề chính thức k nhỉ? 

ĐÂy là đề THPT QG năm 2015 kia chỉ là mẫu thôi