khanghaxuan

Mình không hiểu lời giải của bạn lắm. Bài toán mình đọc có thấy rằng là phải chọn trước các số từ $\{ 1,2, \cdots , n \}$ rồi mới thực hiện chia các số thành hai nhóm. Còn trong lời giải của bạn theo mình hiểu thì bạn đang chia tập $\{ 1,2, \cdots , n \}$ thành hai nhóm bằng nhau chăng ?

Bạn có tài liệu gì về phần chia tập hợp này không . Chứ phần này khó quá

$\bullet$ (Rusia 1997) : Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p,q)$ sao cho $p^3-q^5=(p+q)^2$

Bài này mình đi theo đường mòn là xét từng TH rồi nhận xét thôi

TH1 : $p=2\rightarrow 8-q^{5}=(2+q)^{2}\rightarrow q^{5}+q^{2}+4q=4$

Điều này vô lý vì : $q^{5}+q^{2}+4q\geq 2^{5}+2^{2}+4.2>4$

TH2 : $q=2\rightarrow p^{3}-32=(p+2)^{2}\rightarrow p^{3}-p^{2}-4p-36=0$ (vô lí vì $p$ nguyên dương )

Giả sử $p$ và $q$ đều lớn hơn 3 hay $p,q>3$ thì : $\left\{\begin{matrix} p\equiv 1,2(mod 3) & \\ q\equiv 1,2(mod 3) & \end{matrix}\right.$

  a) Nếu $3|p-q$ thì $p+q$ không chia hết cho 3 và $p^{3}-q^{5}$ chia hết cho 3 nên vô lý

  b) Nếu $p-q$ không chia hết cho 3 thì $p+q$ chia hết cho 3 và $p^{3}-q^{5}$ không chia hết  cho 3 nên vô lý 

Do đó ta có : hoặc $p=3$ hoặc $q=3$ . Từ đó tìm ra nghiệm là : $(p;q)=(7;3)$

Mình cũng ráng đánh bài giải của mình để các bạn có thể trao đổi cho hoàn thiện hơn . 

Spoiler

Nó dài quá , ngại type

NX : Bài này có nhiều khía cạnh về các biến nên sẽ có nhiều cách chia TH . Mình thì chia các biến $a,b,c$ . Vì $a,b,c$ bình đẳng với nhau nên ta sẽ xét các TH là : 

1. $a=b$ và tương tự với các TH còn lại 

2. $a<b<c$ . 

Bài giải : 

Vì $a,b,c$ là các ẩn nguyên dương bất kì do đó ý tưởng đơn giản là giam hãm một biến trong một khoảng rồi xét TH ( trong TH khoảng đó hơi lớn thì thôi dùng cách khác ) 

Giả sử : $\left\{\begin{matrix} ab-c=2^{m} & & \\ bc-a=2^{n} & & \\ ca-b=2^{p} & & \end{matrix}\right.$ ($m,n,p\geq 0$)

Nhưng đầu tiên để giảm thiểu các " phiền toái " liên quan đến dấu " = " thì ta xét TH $a=b$

TH1 : $a=b$ : Ta có : $\left\{\begin{matrix} a^{2}-c=2^{m} & & \\ ac-a=2^{n} & & \\ ca-a=2^{p} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow n=p$

Tuy nhiên do $m,n\geq 0$ nên ta xét : 

1) Nếu $m=0$ và $n\geq 1$ thì : $a^{2}-c=1\Rightarrow$ hoặc $a$ chẵn , $c$ lẻ hoặc $a$ lẻ , $b$ chẵn . 

  a) Nếu $a$ chẵn , $b$ lẻ thì : $a(c-1)=2^{n}$ nên : $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=2^{s} & \\ c-1=2^{t} & \end{matrix}\right.(s+t=n)$ . Thay $a$ và $c$ vào $a^{2}-c=1$ ta được : 

$2^{2s}-2^{t}=2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} s=1 & \\ t=1 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=b=2 & \\ c=2+1=3 & \end{matrix}\right.$ 

Do đó ta có nghiệm : $(2;2;3)$

  b) Nếu $a$ lẻ , $b$ chẵn thì : $\Rightarrow a=1\Rightarrow c=0$ (vô lý )

2) Nếu $n=0$ thì $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c=2 & \\ a=1 & \end{matrix}\right.\Rightarrow 1=a^{2}-c=1-2=-1$ (vô lý)

3) Nếu $m,n\geq 1$ thì : $\left\{\begin{matrix} a^{2}-c=2^{m} & \\ a(c-1)=2^{n} & \end{matrix}\right.$

Từ đó : $a,c$ cùng tính chẵn , lẻ 

  a) Nếu $a,c$ cùng lẻ thì : $c-1=2^{n}\Rightarrow a=1\Rightarrow c=1-2^{m}$ (vô lý )

  b) Nếu $a,c$ cùng chẵn thì : $\Rightarrow a=2^{n}\Rightarrow c=2\rightarrow 2^{2n}-2=2^{m}\rightarrow 2^{2n}-2^{m}=2\rightarrow m=n=1\rightarrow a=b=c=2$

Do đó ta có thêm nghiệm là : $(2;2;2)$

Cuối cùng : ta có nghiệm là : $(2;2;2)$ ; $(2;2;3)$ và các hoán vị . 

TH2 : $a<b<c$ thì : 

Ta có :$(c+1)(b-a)=2^{n}-2^{p}=2^{p}(2^{n-p}-1)\Rightarrow 2^{p}|(c+1)(b-a)$

Tương tự ta cũng có : $2^{p}|(c-1)(b+a)$

Từ 2 điều này ta dễ dàng suy được : 

$2^{p-1}|a+b\Rightarrow a+b\geq 2^{p-1}\Rightarrow 2a+2b=ca-b\Rightarrow ca=2a+3b\Rightarrow 2a+3b=ca\geq a(b+1)\Rightarrow ab\leq a+3b<4b\Rightarrow a\leq 3$

1) Nếu $a=1$ thì : $\rightarrow \left\{\begin{matrix} b-c=2^{m} & \\ c-b=2^{p} & \end{matrix}\right.\rightarrow 2^{m}=0$ (vô lý )

2) Nếu $a=2$ thì : $\left\{\begin{matrix} 2b-c=2^{m} ; 2c-b=2^{p} & \\ bc-2=2^{n} & \end{matrix}\right.$

  a) Nếu $m=0$ thì : $\rightarrow c=2b-1$ do đó : $3b-2 ; 2b^{2}-b-2$ là lũy thừa của $2$ . Mà để ý rằng : 

$2b^{2}-b-2\geq 3b-2\Rightarrow 3b-2|2b^{2}-b-2\Rightarrow 3b-2|6b(3b-2)+(3b-2)-16\Rightarrow 3b-2|16\Rightarrow b\leq 6$

Sau đó thử từng TH ta được : $(a;b;c)=(2;6;11)$

  b) Nếu $n=0$ thì $bc=3$ $\rightarrow b=1 ; c=3 v b=3 ; c=1\Rightarrow$ vô lý . 

  c) Nếu $m,n\geq 1$ thì : $\left\{\begin{matrix} 2b-c=2^{m} & & \\ 2c-b=2^{p} & & \\ bc-2=2^{n} & & \end{matrix}\right.\rightarrow (c-2)(b+1)=2^{n}-2^{m}=2^{m}(2^{n-m}-1)$

Từ đó : $\rightarrow c-2=2^{m}.c_{1}$ ( do $b+1$ lẻ )

Tương tự : $(b-2)(c+1)=2^{p}(2^{n-p}-1)\rightarrow b=2^{p}.b_{1}+2$

Mà $b+c=2^{m}+2^{p}$ , thay $b,c$ vào ta được : 

$2^{m}(c_{1}-1)+2^{p}(b_{1}-1)+4=0\rightarrow$ vô lý . 

Vậy trong TH $a=2$ ta có nghiệm là : $(2;6;11)$

3) Nếu $a=3$ thì : $\left\{\begin{matrix} 3b-c=2^{m} & & \\ bc-3=2^{n} & & \\ 3c-b=2^{p} & & \end{matrix}\right.$

  a) Nếu $m=0$ và $n,p\geq 1$ thì : $\rightarrow 3b-c=1\Rightarrow c=3b-1\rightarrow$ cả $8b-3$ và $3b^{2}-b-3$ đều phải là lũy thừa của 2 . 

Mặt khác do $c>b>3$ nên : $3b^{2}-b-3\geq 8b-3$ nên : $8b-3|3b^{2}-b-3\Rightarrow 4\leq b\leq 16$

Thử 12 Th của $b$ thì ta thấy không có TH nào thỏa . 

  b) Nếu $n=0$ thì : $bc-3=1\rightarrow bc=4\rightarrow \left\{\begin{matrix} b=1 & \\ c=4 & \end{matrix}\right.V\left\{\begin{matrix} b=2 & \\ c=2 & \end{matrix}\right.$

Từ đó ta có nghiệm là : $(3;2;2)$

  c) Nếu $m,n,p\geq 1$ thì :

Spoiler

Tới khúc này mình bí quá làm rút thế vậy , bạn nào có cách nào hay hơn thì chia sẻ cho các bạn cùng tham khảo nhé

Từ : $\left\{\begin{matrix} 3b-c=2^{m} & \\ 3c-b=2^{p} & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} b=\frac{3.2^{m}+2^{p}}{8} & \\ c=\frac{9.2^{m}+3.2^{p}}{8}-2^{m}=\frac{2^{m}+3.2^{p}}{8} & \end{matrix}\right.$

Thế $b,c$ ở trên vào pt : $bc-3=2^{n}$ ta được : 

$2^{n}=(3.2^{m-3}+2^{p-3})(3.2^{p-3}+2^{m-3})-3$(***)

Tới đây ta nhận xét : $VT(***)$ chẳn nên : $(3.2^{m-3}+2^{p-3})(3.2^{p-3}+2^{m-3})$ phải lẻ . 

 - KN1 : $p=3$ thì : $2^{m-3}(3.2^{m-3}+10)=2^{n}\Rightarrow 3.2^{m-3}+10=16\Rightarrow m=4$

Nên ta có : $\left\{\begin{matrix} m=4 & \\ p=3 & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} b=7 & \\ c=5 & \end{matrix}\right.$

Điều này vô lý do : $c>b\rightarrow 5>7$

 - KN2 : $m=3$ thì làm tương tự ta có thêm 1 nghiệm là : $(3;5;7)$

Vậy tóm lại ta có các nghiệm là : $(2;2;2) ; (2;2;3) ; (3;5;7) ; (2;6;11)$ và các hoán vị

 

 

Topic của anh rất hay.     Em xin đi tiên phong một tí. 

Bài giải của bạn rất hay , tuy khá dài nhưng ý tưởng thì không tồi chút nào . Ý tưởng của bạn là xét các tính chất của $a,b,c$ qua đó bao hết tất cả các TH . Bài số này cũng có khá nhiều các chia TH mà một trong  số đó là cách của bạn Zaraki , ngoài ra ta còn có thể xét và chia TH theo $a,b,c$ hoặc $m,n,p$ (số mũ của cơ số 2) và đánh giá chặn khoảng theo biến , tuy nhiên thì lời giải cũng dài . Mong mọi người góp ý từng phần để ra lò một lời giải ngắn gọn và thẩm mĩ nhất có thể

Topic của anh rất hay.     Em xin đi tiên phong một tí. 

Bài này giải đơn giản như sau:

Từ đk suy ra $(a+b)(a^2-ab+b^2)=3^c$ nên tồn tại $m,n\in\mathbb{N}$ sao cho $a+b=3^m, a^2-ab+b^2=3^n$. Khi đó $ab=3^{2m-n-1}$

Xét $a$ hoặc $b=1$ ( giả sử $a=1$) thì $b=3^{2m-n-1}=3^m-1$ nên hoặc $m=0$ hoặc $2m-n-1=0$. Thế vào có thể dễ dàng tìm $m,n$....

Nếu $a$ và $b$ không chứa $1$ thì $a=3^x,b=3^y$ ($x+y=2^m-n-1$) . Giả sử $x\geq y$ thì $3^y(3^{x-y}+1)=3^m$ ( vô lý)...

Phương trình trên có vô số nghiệm là bộ : $(a;b;c)=(3^{k};2.3^{k};3k+2)$ với $k\in N$