Bài này là hệ thức Van Aubel.
Mình sẽ thay $M, N, P, I$ bởi $D, E, F, K$ cho dễ nhìn hơn.
Qua $A$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $BE, CF$ tại $M, N$
$\dfrac{AK}{KD}=\dfrac{AN}{DC}=\dfrac{BM}{BD}=\dfrac{AM + AN}{BC} = \dfrac{AM}{BC}+\dfrac{AN}{BC}=\dfrac{EA}{EC}+\dfrac{AF}{BF}$
Cách khác:
Áp dụng định lý Menelaus cho $\Delta ADC$ với cát tuyến $BKE$ :
$\dfrac{KA}{KD}.\dfrac{BD}{BC}.\dfrac{EC}{EA} = 1$
Áp dụng định lý Menelaus cho $\Delta ADB$ với cát tuyến $CKF$ :
$\dfrac{KA}{KD}.\dfrac{CD}{BC}.\dfrac{FB}{FA}=1$
Từ đây ta có: $\dfrac{BD+DC}{BC}=\left (\dfrac{AE}{EC} + \dfrac{AF}{FB} \right ).\dfrac{KD}{KA}$
Mà $BD+DC=BC$, thay vào và chuyển vế cho ta điều cần chứng minh.
- arsfanfc và phan ky anh thích