Bui Ba Anh

Bài 4: Ta gọi tập thỏa mãn đề bài là tập chuẩn

Giả sử với số $b$ nào đó ta thu được tập chuẩn $X$, ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của $b$

Với mỗi phần tử trong  $X$, nếu nó có ước nguyên tố chung với phần tử nào đó trong các phần tử còn lại thì ta xếp các ước nguyên tố đó vào tập $P$. Sau quá trình này, nếu có nhiều phần tử trùng nhau trong $P$ thì ta chọn một trong chúng

Ta sẽ xét các trường hợp

*TH1: Nếu trong $P$ tồn tại các số nguyên tố lớn hơn hoặc bằng $11$, gọi $p$ là một số như vậy

Khi đó tồn tại $P(a+m)$ và $P(a+n)$ chia hết cho $p$ ($m>n$)

Suy ra $$p|P(a+m)-P(a+n)$$

$$=>p|(m-n)(m+n+1)$$

-Nếu $p|m-n$, khi đó do $m$ khác $n$ nên $m \geq 12$ hay $b \geq 12$

-Nếu $p|m+n+1$ khi đó do $m$ khác $n$ nên $m \geq 6$ hay $ b\geq 6$

Vậy trong trường hợp này $b \geq 6$

*TH2: Nếu trong $P$ chỉ chứa các số nguyên tố $3,5,7$ (vì các phân tử đều là số lẻ)

Rõ ràng $P$ không chưa $5$ vì $n^2+n+1$ không chia hết cho $5$

Ta có $2$ nhận xét:

1. $n^2+n+1$ chia hết cho $3$ khi và chỉ khi $n=1$ mod 3, cũng suy ra là trong ba số liên tiếp thì chỉ có một số $t$ mà $P(t)$ chia hết cho $3$

2.$n^2+n+1$ chia hết cho $7$ khi và chỉ khi $n=2,4$ mod 7, cũng suy ra là trong ba số liên tiếp thì có nhiều nhất hai số mà $P$ của nó chia hết cho $7$,trong 2 số liên tiếp thì có nhiều nhất một số mà $P$ của nó chia hết cho $7$

Trở lại trường hợp này

-Nếu $X$ có $2$ phần tử, điều này vô lí vì số phần tử chia hết cho $3$ là $0$ hoặc $2$, nếu là $0$ thì hai số đó đều chia hết cho $7$ vô lí theo nhận xét. nếu có $2$ số chia hết cho $3$ cũng vô lí theo nhận xét

-Nếu $X$ có $3$ phần tử, nếu có $0$ phần tử chia hết cho $3$, suy ra tất cả đều chia hết cho $7$ là vô lí theo nx2. Nếu có $2,3$ số chia hết cho $3$ vô lí theo nx1.

-Nếu $X$ có $4$ phần tử, nếu có $0$ phần tử chia hết cho $3$ là vô lí theo nx1, nếu có nhiều hơn $2$ phần tử chia hết cho $3$ thì chỉ có thể là $P(a+1),P(a+4)$, suy ra $P(a+2),P(a+3)$ chia hết cho $7$ vô lí theo nx2

-Nếu có $5$ phần tử: Có $0$ phần tử chia hết cho $3$ là vô lí, nếu có $2$ phần tử chia hết cho $3$, dễ thấy có $2$ phần tử liên tiếp trong $X$ chia hết cho $7$ vô lí theo nx2.

Tóm lại trong trường hợp này $b \geq 6$

Ta sẽ chỉ ra min $b$ là 6

Xét số $n$ thỏa mãn: n=0 mod 3, n=5 mod 11, n=6 mod 7. Số này là tồn tại theo định lí số dư trung hoa

Khi đó $3 \mid P(x+1), P(x+4),19 \mid P(x+2),P(x+6),  7 \mid P(x+3), 7 \mid P(x+5)$.

Cho bảng $8\times 6$,các ô của bảng được tô bởi $n$ màu sao cho mỗi cặp 2 màu chỉ xuất hiện cùng nhau không quá một hàng. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $n$?

Đề bài khá lỏng lẻo vì nếu vậy thì ta cứ tô các ô hết một màu, đến hàng cuối cùng tô một màu nữa là xong nếu $n>1$

Nếu thêm điều kiện không có $2$ hàng nào mà tất cả các ô chung một màu:xét bài toán tổng quát là tô màu cho bảng $m.x$

Thay việc tô màu bằng việc đánh các số vào ô vuông

Giả sử ta dùng $k$ số từ $1$ đến $k$ để điền vào ô vuông thỏa mãn đề bài

Với $k$ hàng đầu tiên, với hàng $i$ ta đánh hết các số trong hàng là $i$.

Còn lại $m-k$ hàng

Với mỗi hàng như vậy, ta chọn một cặp bất kì $2$ số từ $k$ số đầu điền vào, các số còn lại trong hàng, ta đánh hết chúng là một trong hai số từ cặp đã chọn.

Như vậy để thuật toán này đúng thì $C^2_k \geq m-k$ hay $k \geq \dfrac{-1+\sqrt{1+8m}}{2}$ với k nguyên

Phần lập luận chứng minh k nhỏ nhất tương tự như lập luận tìm k này

Bài $1$ khá hay. Gọi $CD$ cắt $BF$ tại $T$ và dễ dàng chứng minh $E$ là trung điểm $FT$ (Chú ý cách xác định điểm $E$ là giao của trung trực $AD$ và đường thẳng đổi xứng của $AC$ qua $AD$)

Khi đó tứ giác $XMFE$ nội tiếp, ngũ giác $BMDEA$ và $BFDXC$ nội tiếp.

Suy ra $EM,FX,BD$ đồng quy tại tâm đẳng phương của ba đường tròn.

Mình xin lỗi vì quên đăng bài đề nghị

$\boxed{\text{Bài toán 15.}}$  Đường tròn $W_1$ và $W_2$ giao nhau tại $P,K$. $XY$ là tiếp tuyến chung ngoài gần $P$ hơn của $W_1,W_2$ với $X$ thuộc $W_1$ và $Y$ thuộc $W_2$. $XP$ cắt $W_2$ tại điểm thứ hai $C$ và $YP$ cắt $W_1$ tại điểm thứ hai $B$. Gọi $A$ là giao của $BX,CY$. Chứng minh rằng nếu $Q$ là giao điểm còn lại của $(ABC)$ và $(AXY)$ thì góc $QXA$ bằng góc $QKP$

Nguồn: sưu tầm

 

 

$\boxed{\text{Giải bài 14.}}$ Gọi $D,E,F$ là tiếp điểm của $(I)$ với $BC,AC,AB$, giả sử $B_1,C_2$ thuộc $BC$,$B_2,A_1$ thuộc $AB$, $A_2,C_1$ thuộc $AC$, gọi các đường tròn nhỏ là $(u),(v),(w)$ thứ tự ứng với đỉnh $A,B,C$

Ta sẽ chứng minh $XD,YE,ZF$ đồng quy tại $P$

Thật vậy dễ thấy các tam giác $B_1XC_2,B_2A_1Z,YA_2C_1$ nội tiếp. (1)

Mà $\dfrac{sin(A_1ZF)}{sin(FZB_1)}=\dfrac{A_1F.ZB_2}{B_2F.ZA_1}$, thiết lập các đẳng thức tương tự và chú ý (1), áp dụng Ceva dạng sin ta có đpcm

Mặt khác tam giác $DEF$ đồng dạng $XYZ$ và $XD,YE,ZF$ đồng quy tại $P$ nên tồn tại phép vị tự tâm $P$ biến $DEF$ thành $XYZ$, do đó biến $I$ thành $M$ nên $P,I,M$ thẳng hàng.

Giả sử tiếp tuyến chung trong của $(v)$ và $(I)$ cắt $BD,XD,FZ$ tại $K,L,R$ và tiếp tuyến chung trong của $(w)$ và $(I)$ cắt $CD,XD,EY$ tại $H,L',Q$

Do $B_1K=KD$ và $DH=C_2H$ nên $DL=LX$ và $DL'=L'X$ theo talet hay các tiếp tuyến này cắt nhau tại một điểm trên $DX$

Chứng minh tương tự cho các tiếp tuyến chung còn lại

Khi đó tam giác $LQR$ đồng dạng $XYZ$ và $XL,YQ,CR$ đồng quy tại $P$ nên tồn tại phép vị tự biến $LQR$ thành $XYZ$ và do đó biến $I$ thành $N$ hay $P,I,N$ thẳng hàng

Vậy ta có đpcm.

$$\begin{array}{| l | l |} \hline Ngockhanh99k48 & 1\\ \hline IHateMath & 1\\ \hline fatcat12345 & 2\\ \hline dogsteven & 3\\ \hline baopbc & 4\\ \hline QuangDuong12011998 & 1\\ \hline xuantrandong & 1\\ \hline mrjackass & 1\\ \hline vietnaminmyheart & 1\\ \hline BuiBaAnh & 1\\ \hline\end{array}$$