Câu 1 bạn chỉ cần dùng bổ đề tổng quát
$$ \frac{1}{x_{1}^{n}+1}+\frac{1}{x_{2}^{n}}+...+\frac{1}{x_{n}^{n}+1}\geq \frac{1}{x_{1}x_{2}...x_{n}+1} $$ với $x_{i}\geq 1 (i=1,2,...,n)$
- binhnhaukhong yêu thích
Gửi bởi I Am Gifted So Are You trong 06-12-2014 - 12:55
Câu 1 bạn chỉ cần dùng bổ đề tổng quát
$$ \frac{1}{x_{1}^{n}+1}+\frac{1}{x_{2}^{n}}+...+\frac{1}{x_{n}^{n}+1}\geq \frac{1}{x_{1}x_{2}...x_{n}+1} $$ với $x_{i}\geq 1 (i=1,2,...,n)$
Gửi bởi I Am Gifted So Are You trong 23-08-2014 - 15:10
$\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}=\frac{2}{1-x}-2+\frac{1}{x}-1+3=\frac{2x}{1-x}+\frac{1-x}{x}+3\geq 2\sqrt{2}+3$
Gửi bởi I Am Gifted So Are You trong 23-08-2014 - 13:51
$x^2+y^2+z^2=xyz\Leftrightarrow (\sum x)^2=2\sum xy+xyz\leq \frac{2}{3}(\sum x)^2+xyz\Rightarrow 3xyz\geq (\sum x)^2$
$\Rightarrow x+y+z\leq \sqrt{3xyz}\Rightarrow VP\leq 4\sqrt{3xyz}-9\Rightarrow VP^3\leq (4\sqrt{3xyz}-9)^3$
$\sum xy\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\Rightarrow (\sum xy)^3\geq 27x^2y^2z^2$
Ta cần cm
$27x^2y^2z^2\geq (4\sqrt{3xyz}-9)^3$. Đặt $\sqrt{3xyz}=t$ thì $3t^4\geq (4t-9)^3$
Điều này luôn đúng với $t \geq 9$
Gửi bởi I Am Gifted So Are You trong 09-08-2014 - 14:28
Lâu ngày ko lên vmf
$$\sum \sqrt{\frac{a^2+2ab}{b^2+2c^2}}=\sum \frac{1}{\sqrt{\frac{b^2+2c^2}{a^2+2ab}}}\geq\sum\frac{2}{\frac{a^2+b^2+2c^2+2ab}{a^2+2ab}}\geq \sum\frac{a^2+2ab}{a^2+b^2+c^2}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}$$
Gửi bởi I Am Gifted So Are You trong 06-06-2014 - 17:05
1,
$\sum \frac{a^3b}{ab^2+1}=\sum \frac{a^2}{b+\frac{1}{ab}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum a+\sum \frac{1}{ab}}=\frac{abc(a+b+c)}{abc+1}$
Gửi bởi I Am Gifted So Are You trong 03-06-2014 - 01:19
Cho $A=2+2\sqrt{28n^2+1}$ với $n \in Z$
CMR nếu $A \in Z$ thì A là SCP
Gửi bởi I Am Gifted So Are You trong 03-06-2014 - 01:09
Đặt $\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}=a(a \in Q))\Rightarrow a-\sqrt{n-1}=\sqrt{n+1}\Leftrightarrow a^2+n-1-2a\sqrt{n-1}=n+1\Rightarrow \sqrt{n-1}=\frac{a^2-2}{2a} \in Q$
mà $n-1 \in Z $ nên $n-1$ là scp.
CMTT thì $n+1$ là scp. Đặt $n-1=b^2$, $n+1=a^2$
$\Rightarrow (a-b)(a+b)=2$ mà $a-b$, $a+b$ có cùng dư khi chia 2 nên
$a-b\vdots 2, a+b\vdots 2\rightarrow 2\vdots 4$ (vô lí)
nên ta có dpcm
Gửi bởi I Am Gifted So Are You trong 03-06-2014 - 01:00
ĐKXĐ -2\leq x\leq 5
$y^2=-2x^2+7x+31-2\sqrt{(-x^2+4x+21)(-x^2+3x+10)}=-2x^2+7x+31-2\sqrt{(14+5x-x^2)(15+2x-x^2)}$
$y^2=14+5x-x^2-2\sqrt{(14+5x-x^2)(15+2x-x^2)}+15+2x-x^2+2=(\sqrt{14+5x-x^2}-\sqrt{15+2x-x^2})^2+2\geq 2$
mà $x\leq-2$ nên $A>0$ thì $\Rightarrow A\geq \sqrt{2}$
Dấu "=" xảy ra khi
$-x^2+5x+14=15+2x-x^2 \Leftrightarrow x=\frac{1}{3}$(thỏa mãn)
Gửi bởi I Am Gifted So Are You trong 02-06-2014 - 22:54
Cho 2 tập hợp $A$ và $B$ thỏa mãn:
i, Mỗi phần tử của cả $2$ phần tử đều nhỏ hơn hoặc bằng $2008.$
ii, Tổng số phàn tử của $2$ tập hợp lớn hơn $2008.$
CMR: tồn tại 2 phần tử ở $2$ tập hợp trên mà tổng của chúng là $2008$
@Sieusieu90 : bạn đặt sai tiêu đề , mình đã sửa cho bạn rồi . Xem lại cách đặt tiêu đề nhe!
Gửi bởi I Am Gifted So Are You trong 02-06-2014 - 22:21
Đặt $n=a^2+b$ với $0 \leq b \leq 2a$
thì $a\leq \sqrt{n}<a+1\Rightarrow [n]=a$
thì $a^2+b\vdots a\rightarrow b\vdots a$ mà $b\leq$ 2a nên b=a hoặc b=2a hoặc b=0
Vậy vs n có dạng $n=a^2$, $n=a^2+a$ và $n=a^2+2a$ luôn tm
Gửi bởi I Am Gifted So Are You trong 02-06-2014 - 22:09
Bài này chỉ cần dùng đơn giản thế này
Gọi $max{a,b,c}=a$ thì $a\geq \frac{b+c}{2}$
$\Rightarrow VT\geq a^3+b^3+c^3+3bc(b+c)=a^3+(b+c)^3\geq \frac{(a+b+c)^3}{4}$
dấu "=" xảy ra khi có 3 số = 0
Gửi bởi I Am Gifted So Are You trong 02-06-2014 - 22:00
Cho mình hỏi bạn có cách nào ngắn hơn k? Chứ mình thấy chặn y tới 9 giá trị lận (từ 2 tới 10)
xét giá trị tuyệt đối rồi thử lại bên kia có thỏa mãn ko ms tìm cụ thể
Gửi bởi I Am Gifted So Are You trong 31-05-2014 - 23:26
Tìm các số hữu tỉ dương a,b,c để $a+\frac{1}{b}$; $b+\frac{1}{c}$; $c+\frac{1}{a}$ là các số nguyên dương
( Trích đề thi tuyể sinh lớp 10 chuyên toán Nguyễn Trãi Hải Dương)
Gửi bởi I Am Gifted So Are You trong 31-05-2014 - 01:27
Cho $a,b,c>0$. CMR
$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq 2\sum \sqrt{a^2-ab+b^2}$
Gửi bởi I Am Gifted So Are You trong 27-05-2014 - 20:49
Bằng việc xét hiệu cm dc $\sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}-\sum \frac{y^3}{x^2+xy+y^2}=0\Rightarrow \sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}=\frac{1}{2}\sum \frac{x^3+y^3}{x^2+xy+y^2}$
Có $x^3+y^3\geq \frac{1}{3}(x+y)(x^2+xy+y^2)\Rightarrow \sum \frac{x^3+y^3}{x^2+xy+y^2}\geq \frac{2}{3}(x+y+z)=6$
$\Rightarrow \sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\geq 3$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học