O0NgocDuy0O

$CO$ là chất có tính khử nên khi tác dụng với oxit bazơ sẽ sinh ra kim loại và khí $CO_2$

$3CO+Fe_2O_3\rightarrow 2Fe+3CO_2$

Mình tưởng ra $2FeO+CO_{2}$ chứ 

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng: $$\sum \frac{a}{a^2+2b+3} \leq \frac{1}{2}.$$

Bạn làm bằng AM-GM ngược dấu được không?

Áp dụng $AM-GM$:

$\sum \frac{a^2}{a+2b^2}=\sum (a-\frac{2ab^2}{a+2b^2})\geq \sum (a-\frac{2ab^2}{3\sqrt[3]{ab^4}})=\sum (a-\frac 23\sqrt[3]{a^2b^2}.)$

Do đó ta cần chứng minh: $\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{b^2c^2}+\sqrt[3]{c^2a^2}\leq 3.$

Áp dụng $AM-GM$ lần nữa: $\sqrt[3]{a^2b^2}\leq\frac{1}{3}(ab+a+b)$,...

suy ra ĐPCM

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $\sum a=3$

Chứng minh

$\sum\frac{a^2}{a+2b^2}\geq 1$

Dễ dàng chứng minh BĐT quen thuộc sau: 

$\sum a^{4}\geq \sum a^{3}.$

Suy ra: $\sum\frac{a^2}{a+2b^2}=\sum \frac{a^{4}}{a^{3}+2a^{2}b^{2}}\geq \frac{(\sum a^{2})^{2}}{\sum a^{3}+2\sum a^{2}b^{2}}\geq 1.$

Đẳng thức xảy ra khi: $a=b=c=1$

Cho $a,b>0$  thoả mãn $a+b=1,$ Tìm Min: $\displaystyle P= \left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2$

Áp dụng $Cauchy-Schwarz$:

$2P\geq (a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^{2}\geq (a+b+\frac{4}{a+b})^{2}=25\Rightarrow P\geq \frac{25}{2}.$

Đẳng thức xảy ra khi: $a=b=\frac{1}{2}$

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thoả mãn: $ab+bc+ca$ khác $0$. Chứng minh: $$\frac{a^{2}(b+c)^{2}}{a^{2}+3bc}+\frac{b^{2}(a+c)^{2}}{b^{2}+3ac}+\frac{c^{2}(a+b)^{2}}{c^{2}+3ab}\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}.$$

Lấy $a=b=c= \alpha \in (0,\frac{1}{3})$, "BĐT" trên sai.

a=b=c=1/6 => bất đẳng thức trên sai

Xin lỗi, mình đánh nhầm đề, đã sửa ở trên

Đề bài phải hình như phải có thêm dữ kiện là "không có cặp đường thẳng nào song song và không có $3$ đường nào đồng quy".

Tổng quát với bài toán $n$ đường thẳng nha.

Lời giải.

Gọi $n$ là số đường thẳng, $k\left ( n \right )$ là số miền tối đa có thể có.

Với $n=0$ thì $k\left ( 0 \right )=1$.

Với $n=1$ thì $k\left ( 1 \right )=2$.

Xét $n>1$ thì thì do $2$ đường bất kỳ không song song, $3$ đường bất kỳ không đồng quy nên đường thẳng thứ $n$ sẽ cắt $n-1$ đường còn lại tại $n-1$ điểm tạo thành $n-2$ đoạn thẳng và hai tia. Mỗi đoạn thẳng và tia này lại tạo thành $2$ miền (thêm một miền mới). Như vậy $n-2$ đoạn thẳng tạo thành $n-2$ miền mới, cùng với hai tia tạo thành $2$ miền mới nữa. Vậy số miền được tạo thành từ $n$ đường thẳng cắt nhau là $k\left ( n \right )=k\left ( n-1 \right )+\left ( n-2 \right )+2=k\left ( n-1 \right )+n$ (thua luôn đoạn này, chỉnh kiểu gì cũng không hiện công thức được  )

Công thức tổng quát của dãy trên dễ dàng tìm được là $k\left ( n \right )=\frac{n^{2}+n+2}{2}$.

Em xin lỗi ạ, em đánh đề bị lộn (, em sửa ở trên rồi ạ

VD 11 sách tài liệu chuyên (trang 40).

Bài $5$: Số còn lại là: $(1+1)(2+1)...(2015+1)-1=2.3.4....2016-1.$

Em chưa học bổ đề hình thang anh ơi!!!! Còn cách nào khác ko anh????

Em chưa học nhưng nếu cm thì vẫn dc mà ( Dùng toàn Thales không à )

Chứng minh thì em tham khảo ở đây, anh lười gõ lại quá

 http://diendantoanho...quy-tại-1-điểm/

c) Tam giác $COD$ vuông tại $O$, có $OM$ là đường cao nên: $\frac{1}{OD^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}=\frac{1}{OM^{2}}=\frac{1}{R^{2}}$.

d) Dễ chứng minh $C,D$ lần lượt là trung điểm $AP,BQ$ nên theo bổ đề hình thang chúng đồng quy.

ờ đúng rồi, cám ơn nhá!!!

Thế rốt cuộc là đề như thế nào, bạn sửa lại đi .

Chờ (O) đường kính AB=2R  và hai tia tiếp tuyến lần lượt cắt Ax, By tại C và D.  

a) CM: AC+BC=CD

b)CM: $\bigtriangleup COD$ vuông

c)CM: $\frac{1}{OD^2}+\frac{1}{OC^2}$ không đổi khi M di chuyển trên nửa (O)

d)Tia BM cắt Ax tại P, tia AM cắt BI tại Q. CM: 3 đường thẳng AB, CD, PQ đồng quy.

P/s: Chỉ cần giúp câu c và d thôi !!!!

Bạn xem lại đề @@

1.Cho $a=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{\sqrt{2}}{8}$

   a)Chứng minh $4a^{2}+\sqrt{2}a-\sqrt{2}=0$

   b)Tính giá trị của biểu thức: $S=a^{2}+\sqrt{a^{4}+a+1}$

Chém câu $b)$:

Ta có:

$x+\frac{1}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{8\sqrt{2}+1}}{4\sqrt{2}}\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}.x+\frac{1}{32}=\frac{8\sqrt{2}+1}{32}\Rightarrow 2\sqrt{2}x^{2}+x-1=0\Rightarrow(x^{2}-\sqrt{2})^{2}=x^{4}+x+1\Rightarrow\left | x^{2}-\sqrt{2} \right |=\sqrt{x^{4}+x+1}$

Bước còn lại chỉ việc chứng minh: $x^{2}<\sqrt{2}$ (Bạn tự chứng minh nhé)

Vậy $S=\sqrt{2}.$

Giải phương trình: $$25x+9\sqrt{9x^{2}-4}=\frac{2}{x}+\frac{18x}{x^{2}+1}.$$