Zurnie

Câu 4.

a.Dễ thấy $\widehat{HMP}=\widehat{NMB}\Rightarrow \Delta MHP=\Delta MNB\Rightarrow MN=MH$

  $\Delta MHN$ cân tại $M$ nên $MI$ là đường trung trực của $HN \Rightarrow \Delta HGN$ cân ở $G$, $\Delta HJN$ cân ở $J$ 

 dễ thấy$HJ\parallel GN\Rightarrow \widehat{JHN}=\widehat{HNG}\Rightarrow \widehat{JNH}=\widehat{NHG}\Rightarrow HG\parallel JN\Rightarrow HGNJ$ là hình bình hành 

Mặt khác $HN\perp BJ\Rightarrow HGNJ$ là hình thoi

b.Dễ thấy $\widehat{AKM}=\widehat{BKM}=45^{\circ}\Rightarrow \widehat{AKB}=90^{\circ}\Rightarrow$ quỹ tích điểm $K$ là nửa cung tròn đường kính $AB$ (khác A,B)

Kẻ $O_1F_1,O_2F_2,I'F'\perp AB\Rightarrow I'F'=\frac{O_1F_1+O_2F_2}{2}=\frac{AB}{4}\Rightarrow$ quỹ tích điểm $I'$ là nửa cung tròn $(F';\frac{AB}{4})$

điểm F' đã cố định chưa bạn

vâng em cảm ơn ạ

Mình nghĩ có thể b và c không có đâu 

Cho tam giác $ABC$ có $BC=a, CA=b, AB=c$. Gọi ${l_a},{l_b},{l_c}$ lần lượt là độ dài $3$ đường phân giác, Chứng minh rằng

$a)$ $\sum {{1 \over {{l_a}}}}  \ge \sum {{1 \over a}} $

 

Từ đây, mình nghĩ ra bài toán sau

$b)$ $\sum {{1 \over {{l_a}}}}  \ge {2 \over {\sqrt 3 }}\sum {{1 \over a}} $

 

Và mình cũng không biết có tồn tại BĐT sau không

$c)$ $\sum {{1 \over {{l_a}}}}  \ge \sum {{1 \over {{m_a}}}}  \ge {2 \over {\sqrt 3 }}\sum {{1 \over a}} $

Ý a nhá.

Gọi AD là phân giác góc A. Kẻ CH song song AD.

cho a,b,c >0 và $\sum a^{2}=3$ 

CM $\sum \frac{a}{a^{2}+2b+3} <=\frac{1}{2}$

Ta có: $a^{2}+1\geq 2a; b^{2}+1\geq 2b; c^{2}+1\geq 2c$

suy ra $\sum \frac{a}{a^{2}+2b+3}\leq \sum \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{a}{a+b+1} \right )$

CM $\sum \frac{a}{a+b+1}\leq 1$

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schawars ta có: 

$\sum \frac{b+1}{a+b+1}=\sum \frac{\left ( b+1 \right )^{2}}{\left ( b+1 \right )\left ( a+b+1 \right )}\geq \frac{\left ( a+b+c+3 \right )^{2}}{\sum \left ( b+1 \right )\left ( a+b+1 \right )}$

Mà $\sum a^{2}=3$ nên ta có: $\sum \left ( b+1 \right )\left ( a+b+1 \right )= 3\left ( a+b+c \right )+\sum ab+\sum a^{2}+3= \frac{1}{2}\left ( a+b+c+3 \right )^{2}$ 

suy ra: $\sum \frac{b+1}{a+b+1}\geq 2$ suy ra đpcm