Đến nội dung

JUV

JUV

Đăng ký: 04-11-2014
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#694374 Tuần $2/10$ năm $2017$: Tâm $(PBC)$ nằm trên...

Gửi bởi JUV trong 08-10-2017 - 18:38

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 1, tháng 10/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và thầy Nguyễn Tiến Dũng. Xin được trích dẫn lại hai bài toán:

Bài 1:  Cho tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$, phân giác $AD$. $K,L$ là tâm nội tiếp $ABD,ACD$.$J$ là tâm $(AKL)$.$IJ$ cắt $(IKL)$ tại $P$ khác $I$.Chứng minh tâm $(PBC)$ nằm trên $(O)$

Hình vẽ:

D1IjxvU.png

Bài 2: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. $D,E$ thuộc $CA,AB$ sao cho $O$ là trung điểm $DE$ và $DE=OA$.$K$ đối xứng $O$ qua $BC$. Lấy $M,N$ để $OM,ON$ lần lượt song song $CA,AB$, $K$ là trung điểm $MN$. $BN$ cắt $CM$ tạp $P$. Chứng minh $(PMN)$ tiếp xúc $(O)$

Hình vẽ:

uM3GYxt.png

 

 



#693654 Tuần $4$ tháng $9/2017$: $AP$ đi qua điểm cố định

Gửi bởi JUV trong 24-09-2017 - 19:45

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 3 tháng 9/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và thầy Nguyễn Tiến Dũng. Xin được trích dẫn lại hai bài toán:

Bài 1: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với $B,C$ cố định và $A$ thay đổi trên $(O)$. $I$ là tâm nội tiếp, $BI,CI$ cắt lại $(O)$ tại $E,F$. Lấy $M,N$ để $AM,EM,AN,FN$ lần lượt vuông góc $AF,CF,AE,BE$. Đường qua trung điểm $AI$ song song $BC$ cắt $AB,AC$ tại $R,Q$. $K,L$ là hình chiếu của $A$ lên $FM,EN$. $QL$ cắt $RK$ tại $P$. Chứng minh $AP$ luôn đi qua điểm cố định khi $A$ thay đổi

Hình vẽ
B3tAIUU.png
Bài 2: Cho $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có $2$ điểm Brocard $\Omega_1, \Omega_2$. Chứng minh nếu có $1$ trong $6$ góc $\angle A\Omega_1 O,\angle B\Omega_1O, \angle C\Omega_1O,A\Omega_2 O,\angle B\Omega_2O, \angle C\Omega_2O$ vuông thì có đúng $2$ trong $6$ góc là vuông
Hình vẽ:
4i3Hy4z.png



#692818 Tuần $2$ tháng $9/2017$: Chứng minh $\frac...

Gửi bởi JUV trong 10-09-2017 - 22:33

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 1, tháng 9, 2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và anh Ngô Quang Dương. Xin được trích dẫn lại hai bài toán:

Bài 1: Cho tam giác $ABC$ và $M,N$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $M$ nằm giữa $N,B$.Lấy $P,Q$ trên $AM,AN$ để $BP,CQ$ cùng vuông góc với $BC$. $K,J$ là tâm ngoại tiếp $(APQ),(AMN)$. $L$ là hình chiếu của $K$ lên $AJ$. Chứng minh $\frac{AJ}{AL}=\frac{MN}{BC}$

Hình vẽ

eM2iXER.png

Bài 2: Cho tam giác $ABC$ và $l$ là 1 đường thẳng bất kì. $D,E,F$ lần lượt là hình chiếu của $A,B,C$ lên $l$.$X,Y,Z$ lần lượt chia $AD,BE,CF$ theo cùng $1$ tỉ số $k$. Các đường lần lượt qua $X,Y,Z$ và vuông góc $BC,CA,AB$ đồng quy tại $K$. Chứng minh $(KAX),(KBY),(KCZ)$ đồng trục và trục đẳng phương của chúng đi qua điểm cố định khi $k$ thay đổi.

Hình vẽ

z6aGTL9.png




#692322 Chứng minh tồn tại số $n$ thỏa mãn 2 điều kiện

Gửi bởi JUV trong 04-09-2017 - 14:53

$n$ là số có dạng $999...9$ sao cho $n$ có nhiều chữ số hơn $m$




#691756 Tuần 5 tháng 8/2017: $YC=ZB$

Gửi bởi JUV trong 28-08-2017 - 23:01

Bài 1:  Gọi $O_1$,$O_2$ là tâm đường tròn $CMZ$ và $BNY$. Dễ thấy $\angle CO_1Z=\angle BO_2Y=\alpha = \pi -\angle A$ (do $\angle CMZ=\angle BNY= \frac{\pi+\angle A}{2}$) và $CO_1Z$ và $BO_2Y$ cân tại $O_1,O_2$ nên $\exists k\in R$ sao cho $O_1\in f_1(AB), O_2\in f_2(AC)$ với $f_1$ là phép đồng dạng quay với tâm $C$, hệ số đồng dạng $k$, hệ số góc $\beta $ và $f_2$ là phép đồng dạng quay tâm $B$, hệ số đồng dạng $k$, hệ số góc $-\beta$ với $\beta=\frac{\pi -\alpha }{2}$. Dễ thấy $f_1(AB)=f_2(AC)=AD$ và $f_1(B)=f_2(C)=I$ là điểm chính giữa cung $BC$ không chứa $A$ của $(ABC)$ . Gọi $K_1$,$K_2$ là trung điểm $DC$,$DB$. Ta có $O_1M_1$ đi qua trung điểm $CE$ (do $O_1M_1$ là trung trực $MC$), tương tự $O_2M_2$ đi qua trung điểm $BF$ và $O_1,O_2$ đều thuộc $AD$ nên theo định lý $Menelaus$, $O_1\equiv O_2\equiv O$. Vậy $BZ=\frac{OI}{k}=CY$




#691712 Tuần 5 tháng 8/2017: $YC=ZB$

Gửi bởi JUV trong 27-08-2017 - 22:13

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 4 tháng 8/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và bạn Đỗ Xuân Long. Xin được trích dẫn lại hai bài toán:

Bài 1:  Cho tam giác $ABC$ có phân giác $AD$.$E,F$ lần lượt thuộc $CA,AB$ sao cho $EF$ song song $BC$. Gọi $M,N$ theo thứ tự là hình chiếu của $C,B$ lên $DE,DF$. $AD$ cắt đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AEM$ và $AFN$ tại lần lượt tại $U,V$ khác $A$. Gọi $NV,MU$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $Y,Z$ Chứng minh rằng $YC=ZB$

Hình vẽ:

etXvnkZ.png

Bài 2: Cho lục giác $ABCDE$ nội tiếp có $AB=CD=EF$ và $BC=DE$. $P$ là một điểm di chuyển trên cung nhỏ $AF$ của đường tròn ngoại tiếp lục giác. $PC,PD$ lần lượt cắt $AE,FB$ tại $M,N$. $K,L$ theo thứ tự thuộc các cạnh $AB,EF$ sao cho $MK,NL,AF$ đôi một song song. $PC,PD$ lần lượt cắt $AF$ tại $S,T$. $KS$ cắt $LT$ tại $Q$. Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ chia đôi đoạn $CD$

Hình vẽ

nFt2DRJ.png




#691332 Cho 12 số nguyên tố phân biệt

Gửi bởi JUV trong 23-08-2017 - 18:07

Câu 2: Có $2000>e \times 6! \geq R(3;3;3;3;3;3)$ nên theo định lý Schur $\Rightarrow$ $Q.E.D$




#690469 Tuần 3 tháng 8/2017: $PQ$ chia đôi $CD$

Gửi bởi JUV trong 13-08-2017 - 21:58

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 2 tháng 8/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và bạn Đỗ Xuân Long. Xin được trích dẫn lại hai bài toán:

Bài 1: Cho lục giác $ABCDE$ nội tiếp có $AB=CD=EF$ và $BC=DE$.$P$ di chuyển trên cung nhỏ $AF$ của đường tròn ngoại tiếp lục giác. $PC,PD$ lần lượt cắt $AE,BF$ tại $M,N$.$K,L$ theo thứ tự là hình chiếu của $M,N$ lên cạnh $AF$. $ML$ cắt $NK$ tại $Q$. Chứng minh đường thẳng $PQ$ chia đôi $CD$

Hình vẽ:

ko7ppyI.png
Bài 2: Cho tam giác $ABC$ nhọn, $1$ đường tròn $(K)$ đi qua $B,C$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E,F$. $(I),(J)$ tiếp xúc $AR$ tại $R$ và tiếp xúc trong với $(K)$ theo thứ tự tại $M,N$ sao cho $I,J$ đều nằm trong các góc 
$\angle FRB$ và $\angle ERC$. Chứng minh $ME,NF$ cắt nhau trên đường thẳng $AR$

Hình vẽ: 

fhLYh0E.png




#689100 Tuần 1 tháng 8/2017: $AU,BV,CW$ đồng quy

Gửi bởi JUV trong 30-07-2017 - 19:45

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 3 tháng 7/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và thầy Nguyễn Minh Hà. Xin được trích dẫn lại hai bài toán:

Bài 1: (Thầy Trần Quang Hùng) Cho tam giác $ABC$ có điểm $Lemoine$ $L$.$X,Y,Z$ lần lượt nằm trên $LA,LB,LC$ sao cho $YZ,ZX,XY$ lần lượt song song với $BC,CA,AB$. $BZ$ cắt $CY$ tại $D$, $CX$ cắt $AZ$ tại $E$, $AY$ căt $BX$ tại $F$. $U,V,W$ lần lượt đẳng giác với $D,E,F$ trong $LBC,LCA,LAB$. Chứng minh $AU,BV,CW$ đồng quy.

Hình vẽ:  

SUp0Qp8.png

Bài 2: (Thầy Nguyễn Minh Hà) Cho tam giác $ABC$ không đều, $L$ là điểm $Lemoine$. Đường đối trung từ $L$ của $LBC,LCA,LAB$ theo thứ tự cắt lại $(LBC),(LCA),(LAB)$ tại $D,E,F$, Chứng minh $AD,BE,CF$ đồng quy tại $1$ điểm thuộc đường thẳng $Euler$ của $ABC$

Hình vẽ : IjWwPqP.png




#687667 Maryam Mirzakhani đã qua đời

Gửi bởi JUV trong 16-07-2017 - 07:56

Đáng buồn thay những thiên tài yểu mệnh !


#687155 Chứng minh rằng: $m\leq C_{n-1}^{k-1}.$

Gửi bởi JUV trong 10-07-2017 - 19:26

Quy nạp theo $n$. Dễ thấy với $n=1,2,3$ thì bài toán đúng.
Gọi $A$ là tập các tập con $k$ phần tử của $S$ chứa $n$, $B$ là 1 tập các tập con $k$ phần tử của $S$ mà không chứa $n$ để $2$ tập bất kì trong $B$ có giao khác rỗng.
Lập một đồ thị $2$ phe $A$ và $B$ mà $2$ đỉnh là $2$ tập thuộc $2$ phe nối với nhau nếu giao của chúng bằng rỗng. Ý tưởng là ta sẽ xây dựng $F$ là hợp tập $B$ và $1$ số phần tử tập $A$
Mỗi phần tử tập $B$ nối với đúng $\binom {n-k-1}{k-1}$ phần tử tập $A$ và mỗi phần tử tập $A$ nối với $1$ số tập con của tập có $n-1-(k-1)=n-k$ phần tử, mỗi tập có $k$ phần tử và không có $2$ trong số các tập con đó giao bằng rỗng. Theo quy nạp thì mỗi phần tử tập $A$ nối không quá $\binom{n-k-1}{k-1}$ phần tử tập $B$. Vì vậy số phần tử tập $A$ nối với $1$ trong số các phần tử tập $B$ $\geq |B|$. Khi thêm tập $B$ vào tập $A$ thì phải loại bỏ các phần tử đó từ tập $A$. Vậy $m=|F| \leq |A|+|B|-|B|=|A|=\binom{n-1}{k-1}$


#685179 Đề thi toán chuyên - chuyên KHTN ĐHQG HÀ Nội vòng 2 2017

Gửi bởi JUV trong 20-06-2017 - 19:37

Câu 4: Chia đa giác thành $k$ miền ngũ giác lồi thì sẽ có tổng $5k$ cạnh. Mỗi cạnh của $n$ giác ban đầu được đếm $1$ lần, các cạnh khác được đếm $2$ lần nên $5k+n$ phải là số chẵn. Do vậy ý b thì câu trả lời là không, còn ý a có thể dễ dàng chỉ ra cách chia thoả mãn




#682656 Basic Matrix

Gửi bởi JUV trong 01-06-2017 - 20:06

Lemma: Một đồ thị $G$ không có $k-clique$ hay $k-clique$ thiếu $1$ cạnh thì tồn tại đồ thị $G'$ $k-2$ phe cùng tập đỉnh với $G$ có số cạnh không ít hơn $G$

Sketch: Quy nạp theo $k$. Chọn $A$ là điểm có bậc lớn nhất là $k$, $M(A)$ là các đỉnh nối với $A$, $N(A)$ là các đỉnh còn lại. Xét đồ thị sinh bởi $M(A)$ không có $(k-1)-clique$ hay $(k-1)-clique$ thiếu $1$ cạnh nên có đồ thị $H$ $k-3$ phe cùng tập đỉnh và có số cạnh không ít hơn $M(A)$. Bỏ đi tất cả các cạnh trong $N(A)$ và nối tất cả các điểm của $N(A)$ với tất cả các điểm của $H$ đôi một, ta được đồ thị $G'$ $k-2$ phe (Các đỉnh của $N(A)$ là $1$ phe). Bậc của các đỉnh của $N(A)$ trong $G$ đều nhỏ hơn hoặc bằng $k$, còn trong $G'$ thì đúng bằng $k$. Mà $H$ có số cạnh ít nhất bằng $M(A)$ nên $G'$ có số cạnh ít nhất bằng $G$, $Q.E.D$

Thay $k=5$, $G$ có $9$ đỉnh, số cạnh lớn nhất thoả mãn không có $5-clique$ hay $5-clique$ thiếu $1$ cạnh thu được khi đồ thị là đồ thị $3$ phe. Ta dễ thấy số cạnh nhiều nhất là $27$, do vậy có inhiều nhất $27$ cặp điểm không được nối, hay ít nhất $9$ cặp cạnh được nối để thoả mãn đề bài, xảy ra trong trường hợp chia thành $3$ tam giác rời nhau




#678245 USAMO 2017 ngày 1

Gửi bởi JUV trong 21-04-2017 - 20:55

Bài 2:

Ta sẽ chứng minh rằng số hoán vị chứa đúng $k$ $A-inversion$ không phụ thuộc vào dãy $A$ (Và bằng số số hoán vị có đúng $k$ nghịch thế).

Bài toán hiển nhiên đúng với $n=1$, giả sử bài toán đúng với $n=k$, xét $n=k+1$. Xét $1$ hoán vị có chứa số $w_1$ đứng đầu dãy. Gọi $f$ là số số $w_i$ thoả mãn $(w_1;w_j)$ là $1$ $A-inversion$. Nếu $a_1>w_1$, số số $w_j$ thoả mãn điều kiện bằng số số $t$ trong $n$ số $m_1,m_2,...,m_n$ thoả mãn $t>a_1$ hoặc $t<w_1$, số các số đó hoàn toàn không phụ thuộc vào cách sắp xếp $n-1$ số cồn lại khác $w_1$. Tương tự với trường hợp $a_1<w_1;a_1=w_1$. Gọi số số $w_j$ lạp thành cặp $A-inversion$ với $w_1$ là $f$, ta đếm cách sắp xếp $n-1$ số còn lại để có đúng $k-f$ cặp, và nó không phụ thuộc vào $A-a_1$. Tương tự với các trường hợp những số khác xếp ở vị trí đầu trong hoán vị, tổng lại các cách sắp xếp thì ta được số cách sắp xếp để có đúng $k$ cặp $A-inversion$ và nó không phụ thuộc vào $A$. Mệnh đề đúng với $n=k+1$, $\Rightarrow$ $Q.E.D$




#675516 ĐỀ VIỆT NAM TST 2017

Gửi bởi JUV trong 28-03-2017 - 13:24

 

 

Chắc là không, vì nếu mà như dungxibo123 nói thì khi đó sẽ có trường hợp tất cả các con kiến đều gặp nhau khi cùng xuất phát tại 1 lỗ chung, dẫn đến bài toán sai.

Nếu như cả $2017$ con đều lên từ một lỗ thì không có 2 con nào xuống cùng 1 lỗ tại cùng 1 thời điểm. Tại mỗi thời điểm sẽ có $43$ lỗ để xuống nên có nhiều nhất $43$ con xuống lỗ. Tuy nhiên vì có $2017$ con đã lên nên số lần xuống ít nhất là $\frac{2017}{43}>45$