Đến nội dung


nhungvienkimcuong

Đăng ký: 23-12-2014
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#667552 $x^2+y^2+z^2=p.t$

Gửi bởi nhungvienkimcuong trong 08-01-2017 - 07:09

Bài toán 1: Cho $p$ là số nguyên tố. Chứng minh tồn tại các số $x,y,z,t$ thỏa mãn :

$x^2+y^2+z^2=p.t$ (Với $0<t<p$)

 

 

ta chỉ cần xét $x,y,z$ theo $\left ( \mod\ p \right )$ và khi thay $x$ bởi $p-x$ nên ta chỉ cần xét với $x,y,z< \frac{p}{2}$

Đặt $\mathcal{S}$ là tập bình phương các số dư thì khi đó $\left | \mathcal{S} \right |=\frac{p+1}{2}$

theo định lý $\text{Cauchy-Dacenport}$ ta có

$\left | \mathcal{S}+\mathcal{S}+\mathcal{S} \right |\geq \min\left \{ p,3\left | \mathcal{S} \right |-2 \right \}=\min\left \{ p,3.\frac{p+1}{2}-2 \right \}=p$

do đó 

$\exists t_p:x^2+y^2+z^2=pt_p$

$\Rightarrow t_p=\frac{x^2+y^2+z^2}{p}<\frac{3.\left ( \frac{p}{2} \right )^2}{p}$

do đó ta chỉ cần chọn $t=t_p$

 

Bài toán 2: Cho các số nguyên $a,b,c$ lớn hơn 1. Chứng minh rằng nếu với mỗi số nguyên dương $n$, tồn tại $k$ sao cho $a^k+b^k=2c^n$ thì $a=b$

File gửi kèm  analysis against number theory.pdf   183.25K   16 Số lần tải

em xem ở $\text{Example}\ 3$ nhé

 

Bài toán 3: Cho a,b,c là các số nguyên và $a \neq 0$ sao cho $an^2+bn+c$ là số chính phương với mọi $n>2013^{2014}$.

Chứng minh rằng tồn tại $x,y$ nguyên sao cho : $a=x^2,b=2xy,c=y^2$

đây là bài toán khá nổi tiếng

em có thể tham khảo $\text{Example}\ 2$ cùng file trên và cũng một lời giải khác ở đây,ý nghĩa bài toán nó đơn thuần chỉ cần vô hạn và phủ nên 2 lời giải trên đều có thể dùng được




#665568 Tính số đường đi từ $(0,0)$ đến $(p,q)$

Gửi bởi nhungvienkimcuong trong 23-12-2016 - 05:56

Xét một lưới ô vuông cỡ $p\times q$ trên mặt phẳng tọa độ chứ các điểm $\left \{ \left ( x,y \right )\in \mathbb{N}^2|x\leq p,y\leq q \right \}$.Một đường đi sẽ có mỗi bước đi theo $\text{vecto}\ (0,1)$ hoặc $(1,0)$.Tính số đường đi từ $(0,0)$ đến $(p,q)$ mà không vượt lên trên đường chéo $qx-py=0$

Spoiler

Spoiler




#665084 $f(f(x)+2y)=10x+f(f(y)-3x)$

Gửi bởi nhungvienkimcuong trong 19-12-2016 - 05:28

Tìm f : R->R thỏa mãn
$f(f(x)+2y)=10x+f(f(y)-3x)$

kí hiệu $\mathcal{P}(x,y):\ f\left ( f(x)+2y \right )=10x+f\left ( f(y)-3x \right )$

$\mathcal{P}\left ( x,\frac{-f(x)}{2} \right )\rightarrow f(0)=2x+f\left ( f\left ( \frac{-f(x)}{2} \right )-3x \right )$ do đó $f$ toàn ánh

nếu $\exists a\neq b:f(a)=f(b)$

$\mathcal{P}(x,a)-\mathcal{P}(x,b)\Rightarrow f\left ( f(x)+2a \right )=f\left ( f(x)+2b \right )$

kết hợp với $f$ toàn ánh do đó $\exists L\neq 0:f(x+L)=f(x)$

$\mathcal{P}\left ( x+L,y \right )\Rightarrow f\left ( f(x+L)+2y \right )=10(x+L)+f\left ( f(y)-3(x+L) \right )$

$\Rightarrow f\left ( f(x)+2y \right )=10(x+L)+f\left ( f(y)-3x \right )\Rightarrow L=0$

điều trên mâu thuẫn nên $f$ đơn ánh

tới đây cho $\mathcal{P}(0,x)$ ta dễ kiếm được nghiệm hàm




#654065 Đề thi chọn đội tuyển Nguyễn Du (Đăk Lăk)-Vòng 2

Gửi bởi nhungvienkimcuong trong 13-09-2016 - 22:09

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN LẦN 2

NĂM HỌC 2016-2017

Bài 1(2 điểm):

Giải phương trình $x^2+x=2\sqrt[3]{(x^3-7)^2}+4\sqrt{x^3-7}$

 

Bài 2(6 điểm):

$1)$ Cho dãy số $(u_n):\left\{\begin{matrix} u_1=a>0\\u_n=n+\frac{n}{u_n},\forall n\geq 1 \end{matrix}\right.$ Tính $\lim \frac{u_n}{n}$

$2)$ Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(x^3)+f(y^3)=(x^2-xy+y^2)\left ( f(x)+f(y) \right )\ ;\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

Bài 3(3 điểm):

Cho $\Delta ABC$ có tâm đường tròn nội tiếp $I$.$\Delta _A,\Delta _B,\Delta _C$ lần lượt là các phân giác ngoài các góc $A,B,C$.Một đường thẳng $d$ bất kì đi qua $I$.$d_A,d_B,d_C$ là các đường thẳng đối xứng với $d$ qua $\Delta _A,\Delta _B,\Delta _C$.Chứng minh rằng ba đường thẳng $d_A,d_B,d_C$ đồng quy

 

Bài 4(6 điểm):

$1)$ Cho $a,b,c$ thuộc $\left [ 0;1 \right ]$.Chứng minh rằng

$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$

$2)$ Tìm tất cả các số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa mãn đẳng thức:

$3^a+5^b+7^c=6^d+3$

 

Bài 5(3 điểm):

Có bao nhiêu số tự nhiên có $50$ chữ số,chia hết cho $9$,trong đó có đúng $10$ chữ số $9$ và giữa hai chữ số $9$ bất kì có ít nhất hai chữ số




#649640 Đề thi chọn đội tuyển Nguyễn Du (Đăk Lăk)-Vòng 1

Gửi bởi nhungvienkimcuong trong 14-08-2016 - 18:21

Bài 5: Số cách chọn thoả mãn đề bài tương ứng với việc tô các số từ $1$ đến $100$ bằng $3$ màu trắng, xanh, đỏ. Trong đó: Ta chọn các lá bài cùng màu với số được tô và lá bài có số tô màu trắng không được chọn. Ta sẽ lập biểu thức truy hồi cho $R_x$,$B_x$,$W_x$ lần lượt là số cách tô màu sao cho $2$ số liên tiếp trong $x$ số đầu tiên không cùng màu xanh hoặc đỏ và số $x$ tô màu đỏ, xanh, trắng. Dễ có:

-$R_{x+1}=B_{x}+W_{x}$

-$B_{x+1}=R_{x}+W_{x}$

-$W_{x+1}=R_{x}+B_{x}+W_{x}$

Trong đó $W_1=R_1=B_1=1$, dễ thấy

-$B_{x+1}+R_{x+1}=W_{x+1}+W_{x}$

-$W_{x+2}=2W_{x+1}+W_{x}$

Số cách bốc bài là $R_{100}+B_{100}+W_{100}=2W_{100}+W_{99}=2\times(2\times 100-1)+2\times99-1=595$

anh tạo bảng và đếm truy hồi ,kết quả của anh là $(1+\sqrt{2})^{100}+(1-\sqrt{2})^{100}$ @


  • JUV yêu thích


#649474 Đề thi chọn đội tuyển Nguyễn Du (Đăk Lăk)-Vòng 1

Gửi bởi nhungvienkimcuong trong 13-08-2016 - 21:09

2)Ta có :$(x^5+10x^3+22x-4)^3+3x^5+22x^3+64x=2\sqrt[3]{-x^5-2x^3-20x+4}+12$

 

$\Leftrightarrow \left ( x^5+10x^3+22x-4 \right )^3+2\left ( x^5+10x^3+22x-4 \right )=\left ( -x^5-2x^3-20x+4 \right )+2\sqrt[3]{-x^5-2x^3-20x+4}$

 

Xét hàm số : $f(t)=t^3+2t\Rightarrow f'(t)=3t^2+2>0\Rightarrow \textrm{Hàm số f(t) đồng biến trên R}$

 

$\Rightarrow x^5+10x^3+22x-4=\sqrt[3]{-x^5-2x^3-20x+4}$

 

$\Leftrightarrow \left ( x^5+2x+20x-4 \right )+\sqrt[3]{x^5+2x^3+20x-4}=(-2x)^3+(-2x)$

 

Xét hàm số $f(t)=t^3+t\Rightarrow f'(t)=3t^2+1>0\Rightarrow \textrm{Hàm số f(t) đồng biến trên R}$

 

$\Rightarrow x^5+2x+22x-4=0$

 

P/s:Ai cho ý kiến về PT cuối không?

câu này hại não nhất ;)

mà phương trình cuối phải là:$x^5+10x^3+20x=4$

ý tưởng là đặt $x=\sqrt{2}\left ( a-\frac{1}{a} \right )$

có mấy đứa lớp anh là sử dụng câu $1.1$ mà anh cũng chả biết phải áp dụng sao nữa :P




#649466 Đề thi chọn đội tuyển Nguyễn Du (Đăk Lăk)-Vòng 1

Gửi bởi nhungvienkimcuong trong 13-08-2016 - 20:48

:) tất cả các bài hàm form $f(mx-af(y))=bf(x)-cx-df(y)$ đều có một style giải nôm na như nhau . Ví dụ đây ( chúng cùng thuộc phương pháp sử dụng tập giá trị hàm số ) 

P/s : sai latex kìa . 

hế  :icon6:,cái skill kiểu trên mình cũng thích làm lắm,hồi lúc mình tính viết chuyên đề về kiểu tập giá trị này mà không có thời gian với cộng tính lười nữa  :wacko:




#649455 Đề thi chọn đội tuyển Nguyễn Du (Đăk Lăk)-Vòng 1

Gửi bởi nhungvienkimcuong trong 13-08-2016 - 20:09

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN LẦN 1

NĂM HỌC 2016-2017

Bài 1(4 điểm):

$1)$ Lập công thức tính $a^5+b^5$ theo $S=a+b$ và $P=ab$

$2)$ Giải phương trình $(x^5+10x^3+22x-4)^3+3x^5+22x^3+64x=2\sqrt[3]{-x^5-2x^3-20x+4}+12$

 

Bài 2 (4 điểm):

$1)$ Cho ba số tự nhiền $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2=20c+2$.Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên chỉ toàn chữ số $1$ chia hết cho $ab$

$2)$ Cho dãy số $(u_n):\left\{\begin{matrix} u_1=10,u_2=19\\u_{n+2}=\frac{u_{n+1}^2+u_n-1}{u_n} \end{matrix}\right.$.Chứng minh rằng $u_n$ luôn là số nguyên

 

Bài 3 (5 điểm):

Cho đường tròn $(O,R)$ và đường thẳng $d$ không cắt nhau.Hạ $OH$ vuông góc với $d$.Một đường tròn $(E)$ thay đổi đi qua $H$ và có tâm thuộc $d$ sao cho $(E)$ cắt $(O)$ tại hai điểm $A,B$

$1)$ Chứng minh rằng:đường thẳng $AB$ đi qua một điểm $I$ cố định

$2)$ từ $H$ kẻ hai tiếp tuyến $HC,HD$ với đường tròn $(O)$ với $C,D$ là các tiếp tuyến.Gọi $M$ là trung điểm $CD$.Chứng minh rằng $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $HM$

 

Bài 4 (4 điểm):

$1)$ Cho các số thực dương $a,b,c$ mà $abc=1$.Chứng minh rằng $\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\le 1$

$2)$ Tìm hàm $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ sao cho $f(5x+y)=f(x)+f(2y)+4x-y\ \ ;\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

Bài 5 (3 điểm):

Cho $100$ chiếc thẻ có màu đỏ được đánh số thứ tự từ $1$ đến $100$ và $100$ chiếc thẻ có màu xanh cũng được đánh số thứ tự từ $1$ đến $100$.Rút ra một số thẻ sao cho:

$\bullet$ Số thẻ được rút ra ít nhất là $1$

$\bullet$ Trong các thẻ được rút,không có hai thẻ nào cùng số

$\bullet$ Trong các thẻ được rút,nếu có hai thẻ nào nhận hai số tự nhiên liên tiếp thì chúng phải khác màu

Hỏi có bao nhiêu cách rút thẻ thỏa mãn đồng thời các điều trên?

Spoiler

 




#648702 $x+2y+3z=100$ có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm

Gửi bởi nhungvienkimcuong trong 09-08-2016 - 09:19

1. Phương trình $x+2y+3z=100$ có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm?

2. Chứng minh trường hợp tổng quát $(100->n)$

về cách làm và đáp án trường hợp tổng quát thì tham khảo ở đây và đây




#646767 Tìm n nguyên dương $\geq 5$ thỏa mãn:

Gửi bởi nhungvienkimcuong trong 27-07-2016 - 18:23

Tìm n nguyên dương $\geq 5$ thỏa mãn:

$i)$ 2 người bất kì quen nhau không có người quen chung.

$ii)$ 2 người bất kì không quen nhau thì có đúng hai người quen chung.

P/s: Bài này mình giải rồi nhưng không được đúng cho lắm:

Mình từng đọc một bài trong chuyên đề tổ hợp qua ánh xạ của thầy Nguyễn Chiến Thắng có một bài cấu hình tương tự nhưng chứng minh số người quen của mỗi người là như nhau, từ đó mình giải thế này: Gọi số người quen của mỗi người là x, ta có:

Nếu một người thuộc vào tập quen của người khác thì sẽ không quen với x-1 người kia( theo t/c 1)

Nếu một người cùng thuộc tập quen của hai người thì hai người đó sẽ cùng quen một người khác với người ban đầu, vậy với một người là người quen của 2 người khác thì người đó sẽ không quen $2(x-1) -1$ người. Vậy một người sẽ không quen quen tất cả là $x(x-1)-x+1=(x-1)^{2}$ vậy n có dạng $(x-1)^{2} +x+1$

ở đây là tìm $n$ nhỏ nhất và cũng có dạng của nó nhưng có vẻ chưa quét hết $n$ được




#646561 $x^2+y^2+z^2=3^{2^n}$

Gửi bởi nhungvienkimcuong trong 26-07-2016 - 15:32

Chứng minh rằng tồn tại bộ ba $(x,y,z)$ nguyên dương thoả mãn $GCD(x,y,z)=1$ sao cho
$x^2+y^2+z^2=3^{2^n}$

ta chứng mình mệnh đề sau bằng quy nạp:tồn tại bộ $(x,y,z)=1$ trong đó có $2$,$1$ số lẻ số chẵn thỏa $x^2+y^2+z^2=3^{2^n}$

$\bullet$ với $n=1$ thì $(x,y,z)=(2,2,1)$ thỏa đề do

$2^2+2^2+1^2=3^{2^1}$

$\bullet$ giả sử mệnh đề đúng tới $n=k$ tức $\exists\ x_k,y_k,z_k:(x_k,y_k,z_k)=1$ trong đó có $2$ số chẵn và $1$ số lẻ mà

$x_k^2+y_k^2+z_k^2=3^{2^k}$

$\bullet$ ta chứng minh với $n=k+1$ thì bộ $(x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1})=\left ( \left | x_k^2+y_k^2-z_k^2 \right |,2x_kz_k,2y_kz_k \right )$ thỏa

thật vậy dễ thấy $\left | x_k^2+y_k^2-z_k^2 \right |$ lẻ

ta sẽ chứng minh

$\left ( \left | x_k^2+y_k^2-z_k^2 \right |,2x_kz_k,2y_kz_k \right )=1$

gọi $p\mid \left (  x_k^2+y_k^2-z_k^2 ,2x_kz_k,2y_kz_k \right )$

-với $p\not |\ z_k$

$\Rightarrow p| x_k,y_k\overset{p|x_k^2+y_k^2-z_k^2} {\Rightarrow}p|z_k$ $($ vô lí $)$

-với $p|z_k$

$\Rightarrow p|x_k^2+y_k^2\Rightarrow p|x^2_k+y_k^2+z_k^2\Rightarrow p=3\overset{p|x^2_k+y_k^2}{\Rightarrow}3|x_k,y_k$ $($ vô lí do theo cách chọn thì $(x_k,y_k,z_k)=1$ $)$

do đó ta có $\text{Q.E.D}$




#635783 Một Số Bổ Đề, Định lý Số Học

Gửi bởi nhungvienkimcuong trong 26-05-2016 - 22:01

bạn post lên đi , mong là file Tiếng Việt

TV thì mình không có rồi  :(

http://users.ugent.b...sigmondy_en.pdf




#635762 Marathon Tổ hợp và rời rạc VMF

Gửi bởi nhungvienkimcuong trong 26-05-2016 - 21:05

Bài toán 3 : Giả sử các tập $A_{1},...A_{k}$ là tập con của $[10]$ với $[n]$ là tập $[n]$ số tự nhiên đầu tiên ( khác $0$)

Thỏa mãn các điều kiẹn

$i)$ Với mọi $i$ thì $|A_{i}|=5$ 

$ii)$ Giao hai tập bất kì không quá $2$

Tìm max của $k$

Bài này thì nhiều cách rồi nhỉ ,lập bảng,chặn $\text{plotkin}$,... và sau đây là 1 cách

dễ lập bảng với điều kiện $k=6$ do đó $k\ge 6$

Spoiler

xét với $k\ge 7$

ta gọi $d(i)$ là số tập chưa phần tử $i$ từ đó dễ thấy

$\sum_{i=1}^{10}d_i=\sum_{i=1}^{k}\left | A_i \right |=5k\geq 35$

$\Rightarrow \exists i_0:d_{i_0}\ge 4$ WLOG đó là các tập $A_1,A_2,A_3,A_4$

$\Rightarrow \left | A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4 \right |=1\Rightarrow \left | A_i\cap A_j\cap A_k \right |\geq \left | A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4 \right |=1,\forall 1\le i,j,k\le 4$

do đó 

$$10=\left | A_1\cup ...A_k \right |\geq \left | A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4 \right |=\sum \left | A_i \right |-\sum \left | A_i\cap A_j \right |+\sum \left | A_i\cap A_j\cap A_k \right |-\left | A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4 \right |\ge 4.5-C_4^2.2+(C_4^3-1).1=11$$

điều trên vô lí do đó $k=6$ là giá trị cần tìm

--------------------------------------------------------------------

$\boxed{\text{Bài}\ 4}$(thầy Hà Huy Khoái)

Xét dãy số như sau:$x_1=1$ với $i\ge 2$ thì $x_i$ nhận được từ $x_{i-1}$ bằng cách đổi (trong cách viết số $x_{i-1}$) $1\rightarrow 01,0\rightarrow 1$.Làm như vậy ta nhận được dãy $1,01,101,01101,..$.Trong dãy trên gọi $a_n$ là vị trí của chữ số $1$ thứ $n$,$b_n$ là vị trí của chữ số $0$ thứ $n$ $\left ( a_1=1,b_1=2,a_2=3,a_3=4,b_2=5,a_4=6,b_3=7,... \right )$

Tìm công thức xác định $a_n,b_n$




#635757 Marathon số học Olympic

Gửi bởi nhungvienkimcuong trong 26-05-2016 - 20:46

Bài toán 9:

Với mỗi số thực $\alpha$ khác $1$ thì ta định nghĩa tập $S(\alpha) = ([na] | n \in  Z)$ . Chứng minh tập $N$ không chia thành hợp của ba tập dạng trên được.

bài này có vẻ thiếu nữa nhỉ với $\alpha$ vô tỉ và chọn $\beta$ vô tỉ sao cho $\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }=1$ thì theo định lý $\text{Beutty}$ thì $\mathcal{S}(\alpha ),\mathcal{S}(\beta )$ vét hết tập $\mathbb{N}^*$ rồi còn $\mathcal{S}(\gamma )$ thì chọn sao mà chả được




#635750 Marathon Tổ hợp và rời rạc VMF

Gửi bởi nhungvienkimcuong trong 26-05-2016 - 20:31

Bài toán đề xuất: 

$\boxed{\text{Bài toán 2}}$ : Trong một cuộc họp có $12k$ người tham gia, mỗi người bắt tay với đúng $3k+6$ người khác. Biết rằng với bất kỳ một cách chọn cặp $2$ người ta có số người bắt tay với cả hai là như nhau. Hỏi có bao nhiêu người tham gia cuộc họp đó?

Đề nó mâu thuẫn sao ấy nhỉ?   :wacko:


  • Ego yêu thích