Đề thi chọn đội tuyển Olympic quốc tế năm 2024
Thời gian: 270 phút
Ngày thi thứ nhất: 26/03/2024
Bài 1. Cho đa thức $P(x)$ hệ số thực, khác hằng và hệ số của bậc cao nhất là $1$. Tìm tất cả các hàm số $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ liên tục và thỏa mãn
\[f\Big(f\big(P(x)\big)+y+2023f(y) \Big)=P(x)+2024f(y)\]
với mọi $x,y\in \mathbb{R}$.
Bài 2. Một khu vườn có mặt bằng là lưới ô vuông $2024 \times 2024$. Người làm vườn đặt các chậu hoa thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
- Một chậu trồng đúng một trong ba loại hoa: cúc, hồng, lan.
- Một ô vuông $1\times 1$ không có quá một chậu hoa.
- Với mỗi chậu hoa cho trước, số lượng chậu trồng hoa khác loài với nó trên cùng hàng ngang và số lượng chậu trồng hoa khác loài với nó trên cùng hàng dọc thì có tổng là $3$.
Hỏi người làm vườn có thể đặt được tối đa bao nhiêu chậu cây mà có đủ cả ba loại hoa trong vườn và thỏa mãn cả ba điều kiện trên?
Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân. Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ theo thứ tự tại $D,E,F$. Gọi $X,Y,Z$ lần lượt là chân đường cao hạ từ đỉnh $A,B,C$ của tam giác $ABC$. Gọi $A'$ là điểm đối xứng với $X$ qua $EF$, gọi $B'$ là điểm đối xứng với $Y$ qua $FD$ và $C'$ là điểm đối xứng với $Z$ qua $DE$. Chứng minh rằng tam giác $ABC$ đồng dạng với tam giác $A'B'C'$.
Nguồn: Hướng tới Olympic Toán VN (nhóm facebook)
- perfectstrong, hxthanh, hovutenha và 2 người khác yêu thích