Đến nội dung


vda2000

Đăng ký: 09-01-2015
Online Đăng nhập: Hôm nay, 20:02
****-

#662890 Tuần 4 tháng 11/2016 : Trục đẳng phương đi qua trực tâm

Gửi bởi vda2000 trong 24-11-2016 - 11:27

Ta chứng minh hai sự kiện sau:
 
1) $EF$ là trục đẳng phương của $(O)$ và đường tròn đường kính $LH$ với $E,F$ là chân đường cao hạ từ $B,C$ xuống $AC,AB$.
PART1.jpg
Gọi $d$ là trục đẳng phương của $(O)$ và đường tròn đường kính $LH$, $R$ là giao điểm của đường tròn đường kính $AH$ với $(O)$, khác $A$ và $Z$ là chân đường vuông góc hạ từ $H$ xuống $AM$
Gọi $U,V$ lần lượt là trung điểm của: $LH,LA$, ta có một số điều sau suy ra từ đường trung bình trong tam giác:
$UV//AH//OM$ và $UV=OM=\frac{AH}{2}$, suy ra $UVOM$ là hình bình hành, suy ra $U,A,O$ thằng hàng.
Xét $3$ đường tròn sau: đường tròn đường kính $AH$, đường tròn đường kính $LH$ và đường tròn $(O)$, suy ra:
$d$, $AR$, $HZ$ đồng quy.
Theo một kết quả khá quen thuộc, ta có: $AR,HZ,EF,BC$ cùng đi qua điểm $S$ nên $S$ thuộc $d$.
Mà: $d\bot UO\equiv AO$, $EF\bot AO$ nên ta có: $d\equiv EF$, ta chứng minh xong sự kiện thứ nhất.
 
2) Ta sẽ chứng minh kết quả của bài toán.
Gọi $J,M$ lần lượt là trung điểm của $AH,BC$ $ON\bot PH$, $H'$ đối xứng với $H$ qua $OM$
Bằng cách lược bỏ đi một số điểm không cần thiết như $L,K,...$, ta có hình sau:
PART2.jpg
Điều phải chứng minh tương đương với:
$HK.HO=HJ.HD$

Spoiler

Hay điều phải chứng minh tương đương với: $\frac{SB}{BE}=\frac{HB}{HH'}$, nhưng điều này luôn đúng vì:
$\widehat{SBE}=\widehat{BHH'}$ và $\widehat{SEB}=\widehat{HCB}=\widehat{BH'H}$.
Vậy ta có điều phải chứng minh




#655661 Đề thi chọn đội tuyển quốc gia THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội vòng 2 năm 2016

Gửi bởi vda2000 trong 26-09-2016 - 20:50

hình.jpg

Lời giải bài hình của em:

Lời giải.
a) Ta gọi $AH$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $A'. HG$ cắt $BC$ tại $ F'$
Ta sẽ chứng minh $F,F',A'$ thẳng hàng.
Thật vậy: $∠F'HA'=∠F'A'H=∠EAH=∠FA'H$ ( vì  $HP// AE$ và $AEFA'$ là hình thang cân do $EF//AA'$) , suy ra $F,F',A'$ thẳng hàng.
Khi  đó, ta có: $∠FGF'=∠QAE=∠FA'P$ (dựa vào tính song song của gt và $AQPA'$ là hình thang cân) , suy ra:$ PFGA' $nội tiếp, nên theo tính chất phương tích:
$F'P.F'G=F'F.F'A'=F'B.F'C$, suy ra: $BPCG$ nội tiếp (đpcm)
 
b) Gọi $A'F$ cắt trung trực của $BC$ tại $S$.
Theo định lý Reim: $QS//AA'; FRA'A$ nội tiếp nên: $FRSQ$ nội tiếp.
Phần còn lại em dùng tính toán và mọi người chắc cũng không thích xem nó.
Tính toán
 

 




#632090 CMR: $\sum \frac{ab}{(a-b)^2}\ge \frac{-1}{4}$

Gửi bởi vda2000 trong 09-05-2016 - 17:12

Ta thấy rằng, nếu đặt: $(x,y,z)\rightarrow(\frac{a+b}{a-b};\frac{b+c}{b-c};\frac{c+a}{c-a})$ thì:

$(x+1)(y+1)(z+1)=(x-1)(y-1)(z-1)$ hay: $xy+yz+zx=-1$

Mặt khác: $(x+y+z)^2\geq 0$ hay:

$x^2+y^2+z^2\geq -2(xy+yz+zx)=2$

$\Leftrightarrow \sum\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}\geq 2$

$\Leftrightarrow\sum\frac{(a-b)^2+4ab}{(a-b)^2}\geq 2$

$\Leftrightarrow\sum\frac{ab}{(a-b)^2}\geq\frac{-1}{4}$




#631923 ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2016

Gửi bởi vda2000 trong 08-05-2016 - 12:58

Câu c theo Brokard có: $IL\bot MZ$ với $Z$ là giao điểm của $ED$ với $PF$.

Còn theo định lý Pascal thì: $M,B,Z$ thẳng hàng nên: $MZ$ vuông góc $BC$

Suy ra $IL$ song song với $BC$ nên $I$ thuộc $LK$




#596695 $xyz(x-1)(y-1)(z-1) \le 8$

Gửi bởi vda2000 trong 03-11-2015 - 17:17

Cho $x,y,z \ge 0$ thỏa $xyz=x+y+z+2$. Chứng minh rằng:

$xyz(x-1)(y-1)(z-1) \le 8$

Xem ở đây.




#589267 Đề thi khảo sát tháng 9 năm 2015 THPT Chuyên Bắc Giang

Gửi bởi vda2000 trong 16-09-2015 - 12:02

Sở GD& ĐT Bắc Giang                                         ĐỀ THI KHẢO SÁT THÁNG 9 - NĂM 2015

    Trường THPT                                                          MÔN: TOÁN LỚP 10 CHUYÊN

 Chuyên Bắc Giang                                                     Thời gian làm bài: 150 phút

                                                                                   Đề dành cho lớp 10 chuyên Toán.

 

Câu 4: Cho hình bình hành $ABCD$ có $\widehat{BAD}<90^{\circ}$. $O$ nằm trong tam giác $ABD$: $OC$ không vuông góc với $BD$. $(O;OC)$ cắt $BD$ tại $M,N$ ($B$ thuộc đoạn $MD$). Tiếp tuyến tại $C$ của $(O)$ cắt $AD,AB$ lần lượt tại $P,Q$

a) CMR: $M,N,P,Q$ cùng thuộc một đường tròn.

b) $CM$ cắt $QN$ tại $K$. $CN$ cắt $PM$ tại $L$. Chứng minh rằng: $IC\bot KL$

 

Thôi nói tóm tắt

a) Gọi $MN$ cắt $PQ$ tại $X$

Ta có: $XM.XN=XC^2$

$XC^2=XP.XQ$

Suy ra: $XM.XN=XP.XQ$

$\Rightarrow ...$

b) Dựa vào câu a rồi chứng minh tứ giác $MNKL$ nội tiếp




#589042 Đề thi khảo sát tháng 9 năm 2015 THPT Chuyên Bắc Giang

Gửi bởi vda2000 trong 15-09-2015 - 11:00

Sở GD& ĐT Bắc Giang                                         ĐỀ THI KHẢO SÁT THÁNG 9 - NĂM 2015

    Trường THPT                                                          MÔN: TOÁN LỚP 10 CHUYÊN

 Chuyên Bắc Giang                                                     Thời gian làm bài: 150 phút

                                                                                   Đề dành cho lớp 10 chuyên Toán.

 

Câu 1: Giải các phương trình sau:

1) $3\sqrt{x-1}+2\sqrt{x-2}=\sqrt{x^2-3x+2}+6$

2) $x+1+\sqrt{x^2-4x+1}=3\sqrt{x}$

 

Câu 2: Giải các hệ phương trình sau:

1) $\left\{\begin{matrix} xy+x+y=x^2-2y^2 &\\ x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2x-2y\end{matrix}\right.$

2) $\left\{\begin{matrix} 6\frac{x}{y}-2=\sqrt{3x-y}+3y &\\ 2\sqrt{3x+\sqrt{3x-y}}=6x+3y-4 \end{matrix}\right.$

 

Câu 3: Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho: 

$3^p+4^p$ là số chính phương

 

Câu 4: Cho hình bình hành $ABCD$ có $\widehat{BAD}<90^{\circ}$. $O$ nằm trong tam giác $ABD$: $OC$ không vuông góc với $BD$. $(O;OC)$ cắt $BD$ tại $M,N$ ($B$ thuộc đoạn $MD$). Tiếp tuyến tại $C$ của $(O)$ cắt $AD,AB$ lần lượt tại $P,Q$

a) CMR: $M,N,P,Q$ cùng thuộc một đường tròn.

b) $CM$ cắt $QN$ tại $K$. $CN$ cắt $PM$ tại $L$. Chứng minh rằng: $IC\bot KL$

 

Câu 5: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$

CMR: $\frac{a}{a^4+1+2ab}+\frac{b}{b^4+1+2bc}+\frac{c}{c^4+1+2ca}\leq\frac{3}{4}$

 

 




#584737 Chứng minh rằng: $\widehat{BEC}=\widehat{DAC...

Gửi bởi vda2000 trong 24-08-2015 - 21:18

Cho tứ giác $ABCD$ và $AD=CD$, $\widehat{DAB}=\widehat{ABC}$. $M$ là trung điểm $BC$. $DM$ cắt $AB$ tại $E$. 

Chứng minh rằng: $\widehat{BEC}=\widehat{DAC}$

abc.jpg




#581088 Chứng minh: $(1-xy)(1-yz)(1-zx)\geq 0$

Gửi bởi vda2000 trong 12-08-2015 - 21:40

Cho: $0<x\leq y\leq z$ và: $x+y+z=xyz+2$

Chứng minh: $(1-xy)(1-yz)(1-zx)\geq 0$




#574502 Chứng minh: $n=1$

Gửi bởi vda2000 trong 21-07-2015 - 22:27

Cho: $p;q;r$ là $3$ số nguyên tố thỏa mãn:

$p^n+q^n=r^2$ với $n\in\mathbb{N}$

Chứng minh rằng: $n=1$




#574278 Tìm quỹ tích giao điểm $I$ của $MP,NQ$

Gửi bởi vda2000 trong 20-07-2015 - 17:23

Cho tứ giác $ABCD$ không phải hình thang. Các điểm $M,N,P,Q$ theo thứ tự thay đổi trên $AB,BC,CD,DA$ sao cho $MNPQ$ là hình bình hành.

Tìm quỹ tích giao điểm $I$ của $MP,NQ$




#572874 $\sum \frac{ab}{(a+b)(b+c)} \geq \frac{3}{4}$

Gửi bởi vda2000 trong 15-07-2015 - 21:48

cho a,b,c là các số thực dương  thõa mãn a+b+c=1.Chứng minh rằng :$\sum \frac{ab}{(a+c)(b+c)}\geq \frac{3}{4}$ :(

Quy đồng lên được kết quả tại đây.

Bất đẳng thức chứng minh tương đương với: $ab^2+a^2b+bc^2+b^2c+ca^2+c^2a\geq 6abc$ (Luôn đúng theo $AM-GM$ với $6$ số)




#572421 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y...

Gửi bởi vda2000 trong 14-07-2015 - 15:19

Giải phương trình nghiệm nguyên: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=z$

Xét: $z=0$ PT có nghiệm: $(x;y;z)=(k;-k;0)$ với: $k\im\mathbb{Z}$

Xét: $z\neq 0$

PT: $\Leftrightarrow x+y=xyz$

$\Leftrightarrow xyz^2-xz-yz=0$

$\Leftrightarrow xz(yz-1)-(yz-1)=1$

$\Leftrightarrow (xz-1)(yz-1)=1$

Đến đây dễ r`




#572419 $\left\{\begin{matrix}x^5-x^4+2x^2y=2&...

Gửi bởi vda2000 trong 14-07-2015 - 15:15

Cách giải trong link bạn gửi thật sự chưa đúng.

Đó là khi rút ra được: $y<1$ trong TH1, Ta có: $2y^2z>2\Leftrightarrow y^2z>1$

$y<1$ chưa chắc đã suy ra: $z>1$ Ví dụ: $y=-2$ Khi đó, $z$ hoàn toàn có thể bằng: $\frac{8}{9}<1$mà vẫn thỏa mãn: $y^2z>1$

 

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} x^5-x^4+2x^2y=2 & & \\ y^5-y^4+2y^2z=2& & \\ z^5-z^4+2z^2x=2& & \end{matrix}\right.$

Giải như sau:Trước hết xét từng TH: $x=0$; $y=0$; $z=0$ đều ra vô lí. Xét: $x;y;z\neq 0$

Ta có: $x^5-x^4-2=2x^2y\Leftrightarrow\frac{x^5-x^4-2}{-2x^2}=y$

Giả sử: $y>1$ Ta có:

$\frac{x^5-x^4-2}{-2x^2}>1$

$\Leftrightarrow\frac{x^5-x^4+2x^2-2}{-2x^2}>0$

$\Leftrightarrow\frac{(x-1)(x^4+2x+2)}{-2x^2}>0$

$\Leftrightarrow (x-1)(x^4+2x+2)<0$

Ta có: $x^4+2x+2=x^4-2x^2+1+2x^2+2x+1>0$ 

$\Leftrightarrow x-1<0$

$\Leftrightarrow x<1$

Từ: $x<1$ suy ra: $z>1$ rồi: $y<1$ và vô lí

Tương tự các trường hợp còn lại: $y<1$

Suy ra: $y=1$ 

$\Rightarrow ...$




#572183 $\frac{(1-x)(1-xy)}{(1+x)^2(1+y)^2}$

Gửi bởi vda2000 trong 13-07-2015 - 21:53

Wolframalpha dùng sao vậy bạn?

Em nên xưng là "EM" :D

Em cũng biết ít ít thôi

Một số lệnh em biết, em xin lấy ví dụ cho dễ hiểu

Khai triển: expand (x-1)(x-3), máy sẽ hiện: x^2-4x+3

Phân tích đa thức thành nhân tử: factor x^2-4x+3, máy sẽ hiện: (x-1)(x-3)

Tìm cực trị: 

min x^2

max -x^2

Nếu tìm cực trị thêm điều kiên như: min x^2 with x>=1

hoặc có thể thay là min x^2 domain x>=1

em biết thế thôi :3