vda2000

Cho hai đường tròn $(O_1)$, $(O_2)$ cắt nhau tại $B,C$. $M$ là trung điểm $BC$. Gọi $A$ là điểm di chuyển trên $(O_1)$, $AB,AC$ lần lượt cắt $(O_2)$ tại điểm thứ hai là $F,E$. Gọi $P,Q$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên $BE,CF$.

Chứng minh rằng: $AK$ luôn đi qua một điểm cố định

Chứng minh rằng chu vi của tứ giác (không nhất thiết phải lồi) bị chứa luôn nhỏ hơn chu vi của tứ giác lồi mà chứa tứ giác đó.

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{y^2-y+1}=\sqrt{x^2+xy+y^2} &\\ 4(x+1)(xy+y-1)-3x=\sqrt[3]{x^4-x^2} \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng với mọi $a,b,c>0$ thì:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{2(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}\geq 5$

Cho $n\in\mathbb{N^*}$ và: $x_1;x_2;...;x_n>0$

Chứng minh rằng: $(1+x_1)(1+x_1+x_2)...(1+x_1+x_2+...+x_n)\geq\sqrt{(n+1)^{n+1}x_1x_2...x_n}$