the man

Tìm $x\in \mathbb{R}$ thỏa mãn :

$x^{x}=10$

 

 

Câu 7. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca+2abc=1$. Chứng minh rằng 

$$\sum \frac{a(a+1)}{(2a+1)^2} \leqslant \frac{9}{16}$$

 

 

Đặt  $t=a+b+c$

Từ giả thiết $1\leq \frac{t^2}{3}+\frac{2t^3}{27}\rightarrow t\geq \frac{3}{2}$

  $\sum \frac{a(a+1)}{(2a+1)^2}$

  $=\frac{1}{4}\sum \left ( 1-\frac{1}{(2a+1)^2} \right )$

  $=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\sum \frac{1}{(2a+1)^2}$

  $\leq \frac{3}{4}-\frac{1}{4}\sum \frac{1}{(2a+1)(2b+1)}$

Ta đi chứng minh   $\sum \frac{1}{(2a+1)(2b+1)}\geq \frac{3}{4}$  

 Bất đẳng thức này tương đương

   $\frac{2\sum a+3}{8abc+4\sum ab+2\sum a+1}\geq \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{2\sum a+3}{4(1-\sum ab)+4\sum ab+2\sum a+1} \geq \frac{3}{4}$

  $\Leftrightarrow \frac{2t+3}{5+2t}\geq \sum \frac{3}{4}\Leftrightarrow t\geq \frac{3}{2}$ (đúng)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1.5$

Gọi $O_1$, $O_2$ lần lượt là tâm (ABD), (ADC). M là trung điểm cung BC không chứa A
Có $\angle O_1BD=90^{\circ}-\angle BAD=\frac{180^{\circ}-\angle BAC}{2}=\angle MBC$
Tương tự $\angle O_2CD=\angle MCB$
Suy ra $O_1B, O_2C$ cắt nhau tại M.
Từ đó dễ dàng suy ra $MO_1DO_2$ là hình bình hành
Suy ra $O_1B+O_2C=MB=const$ 

Bài 5:Cho tam giác $ABC$ không đều,có các cạnh $BC=a;CA=b;AB=c$.Gọi các điểm $I$ và $G$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm của tam giác $ABC$.Chứng minh rằng nếu $IG$ vuông góc với $IC$ thì $6ab=(a+b)(a+b+c)$

Gọi T là giao điểm của GI và BC

Ta có $\Delta ITC$ vuông tại I

Gọi H,K,P lần lượt là hình chiếu của A,G,I xuống BC.

Ta tính được AH, IP, GK, PC theo $a,b,c$

Từ đó dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông ITC ta tính được IT

Ta có IP || GK nên sử dụng định lí Ta-lét ta tính được IG

Mặt khác ta cũng tính được GC, IC theo $a,b,c$

Nên áp dụng định lí Py-ta-go ta có $IG^2+IC^2=GC^2$, thay $a,b,c$ vào rồi biến đổi tương đương ta có điều phải chứng minh.

Cách này anh nghĩ không hay cho lắm tại vì biến đổi phức tạp, chắc phải có lời giải khác hay hơn.       

Bài 3:
1)Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix}y^{6}+y^{3}+2x^{2}=\sqrt{xy-x^{2}y^{2}} & & \\ 8xy^{3}+2y^{3}+1\geq 4x^{2}+2\sqrt{1+(2x-y)^{2}} & & \end{matrix}\right.$

 

$\left\{\begin{matrix}2y^6+2y^3+4x^2=2\sqrt{xy(1-xy)}\leq 1 & & \\ 8xy^3+2y^3+1\geq 4x^2+2 & & \end{matrix}\right.$

Từ đó ta có:

$(2y^6+2y^3+4x^2)-(8xy^3+2y^3+1) \leq -1-4x^2$

$\leftrightarrow 2(y^3-2x)^2 \leq 0$

Đến đây thì ra rồi nhé.

 

 

Câu 2. Tìm tất cả các số nguyên dương lẻ $n$ sao cho

$$\sigma (n) =n^2-14n+9$$

với $\sigma(n)$ là tổng tất cả các ước nguyên dương của $n$.

 

Bổ đề : $d(n)\leq \sqrt{3n}$  ($d(n)$ là số các ước nguyên dương của $n$)

Chứng minh:

Xét phân tích tiêu chuẩn của $n$

$$n=p_{1}^{\alpha _1}p_{2}^{\alpha _2}...p_{k}^{\alpha _k}$$

(với $p_1<p_1<...<p_k$)

$$d(n)=(\alpha _1+1)(\alpha _2+1)...(\alpha _k+1)$$

Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được 

$3.p_1^{\alpha _1}\geq 3.3^{\alpha _1}\geq (\alpha +1)^2, p_i^{\alpha _i}\geq 5^{\alpha _i}\geq (\alpha _i+1)^2 , i=2,3,...,k$

$$\rightarrow 3n\geq (d(n))^2$$

Quay lại bài toán

Ta có  $n^2-14n+9=\sigma (n)\leq n+1+(d(n)-2)n\leq n+1+n(\sqrt{3n}-2)$

           $\rightarrow n^2-\sqrt{3}.n\sqrt{n}-13n+8\leq 0\rightarrow n<25$

Mặt khác  $n^2-14n+9>0\rightarrow n\geq 14\rightarrow n\in \left \{ 15,17,19,21,23,25 \right \}$

Nhận thấy $n=15$ thỏa mãn bài toán.

 

 

 

Câu 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k$, luôn tồn tại duy nhất 2 số nguyên dương $m_k$ và $n_k$ sao cho 

$$(2+ \sqrt{3})^k=m_k+n_k\sqrt{3}$$

hơn nữa nếu $k$ là số lẻ thì $m_k -1$ là số chính phương.

 

Phần chứng minh duy nhất có thể dùng Newton và một vài tính chất đơn giản

Chứng minh $m_{2i+1}-1$ là số chính phương

Đặt  $m_{2i+1}=a_{i}, n_{2i+1}=b_{i}$

Ta có

$$a_{i+1}+b_{i+1}\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^{2i+3}=(7+4\sqrt{3})(a_i+b_i\sqrt{3})=(7a_i+12b_i)+(4a_i+7b_i)\sqrt{3}$$

Theo cách xác định duy nhất ta có    $$\left\{\begin{matrix}a_{i+1}=7a_i+12b_i & & \\ b_{i+1}=4a_i+7b_i & & \end{matrix}\right.$$

Từ đó $$\left\{\begin{matrix}a_0=2,a_1=26 & & \\ a_{i+2}=14a_{i+1}-a_i & & \end{matrix}\right.$$

$$\rightarrow a_i=\frac{2+\sqrt{3}}{2}(7+4\sqrt{3})^i+\frac{2-\sqrt{3}}{2}(7-4\sqrt{3})^i$$

$$\rightarrow a_i-1=\left ( \frac{(2+\sqrt{3})^{i+1/2}-(2-\sqrt{3})^{i+1/2}}{\sqrt{2}} \right )^2$$

Đặt   $c_i=\frac{(2+\sqrt{3})^{i+1/2}-(2-\sqrt{3})^{i+1/2}}{\sqrt{2}}$

Biến đổi đơn giản ta có    $\left\{\begin{matrix}c_0=1,c_1=5 & & \\ c_{i+2}=4c_{i+1}-c_i & & \end{matrix}\right.$

Từ đó mọi số hạng của dãy $c_i$ đều nguyên. Từ đó ta có đpcm.

TRƯỜNG PTTH CHUYÊN KHTN                                      ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10

     BỘ MÔN CHUYÊN TOÁN                                                                NĂM HỌC 2015-2016

                                                           Thời gian làm bài : 210 phút

                                                              (Đợt 3, ngày 24/02/2016)

Câu 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k$, luôn tồn tại duy nhất 2 số nguyên dương $m_k$ và $n_k$ sao cho 

$$(2+ \sqrt{3})^k=m_k+n_k\sqrt{3}$$

hơn nữa nếu $k$ là số lẻ thì $m_k -1$ là số chính phương.

Câu 2. Tìm tất cả các số nguyên dương lẻ $n$ sao cho

$$\sigma (n) =n^2-14n+9$$

với $\sigma(n)$ là tổng tất cả các ước nguyên dương của $n$.

Câu 3. Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ sao cho 

$$P^2(x)+P(-x)+2=P(x^2)+3P(x)$$

với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Câu 4. Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và P,Q là hai điểm đẳng giác nằm trong tam giác. Gọi (X) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.  PB,PC lần lượt cắt CA,AB tại E,F.

       1/ Chứng minh rằng P nằm trên (X) khi và chỉ khi Q nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC.

       2/ QB,QC cắt (O) lần lượt tại M,N khác B,C. Trên đường thẳng BC lấy các điểm S,T sao cho AS||PC, AT||PB. Gọi K,L lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác CMS và BNT. Gọi BK cắt CL tại D. AP cắt EF tại R. Cho P nằm trên (X), chứng minh rằng $\angle BDC = \angle BRC + \angle BAC$.

Câu 5. Trên mặt phẳng toạ độ ta xét tất cả các hình chữ nhật mà các đỉnh có hai tọa độ nguyên, các cạnh song song với các trục tọa độ và diện tích của mỗi hình chữ nhật đó là số có dạng $2^k$ với $k$ là số tự nhiên nào đó. Hỏi  có tồn tại hay không một cách tô màu tất cả các điểm với hai tọa độ nguyên bởi một trong hai màu Xanh, Đỏ sao cho không có hình chữ nhật nào trong số các hình xét trên có cả 4 đỉnh cùng màu ?

Bài toán: Tìm $k$ sao cho phương trình sau có nghiệm nguyên dương:

$$(x+y+z+t)^2=kxyzt$$

Chứng minh định lí Sylvester :

   Cho  $a,b\in \mathbb{N^*}, gcd(a,b)=1$ .

   Số  $N_0=ab-a-b$  là số lớn nhất không biểu diễn được dưới dạng  $ax+by$  với  $x,y\in \mathbb{N}$.  

   Hơn nữa với mọi  $p,q \in \mathbb{Z}; p+q=N_0$  thì chỉ có đúng một trong hai số  $p, q$  biểu diễn được dưới dạng  $ax+by$  với   $x,y\in \mathbb{N}$

1. Chứng minh rằng phương trình sau có vô số nghiệm nguyên:

$$x^5+y^5+z^5=x^4+y^4+z^4$$

2. Chứng minh rằng phương trình sau có số nghiệm nguyên dương với mọi $n$  nguyên dương:

$$x^n+y^n+z^n+t^n=u^{n+1}$$

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc+a+b=c$. Chứng minh:

$$\left ( 1+\frac{1}{\sqrt{1+a^2}} \right )\left ( 1+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}} \right )\left (1+\frac{c^2}{1+c^2} \right )>4$$

Cho $a, b$ là các số nguyên dương

Chứng minh rằng $\frac{(3a+3b)!(2a)!(3b)!(2b)!}{(2a+3b)!(a+2b)!(a+b)!(b!)^{2}}\in Z$

Mình nghĩ đề bài nên là thế này thì sẽ chặt hơn 

$$\frac{(3a+3b)!(2a)!(3b)!(2b)!}{(2a+3b)!(a+2b)!(a+b)!a!(b!)^{2}}\in \mathbb{Z}$$

Ý tưởng là sẽ chứng minh rằng khi phân tích ra thừa số nguyên tố thì số mũ của mọi số nguyên tố $p$ ở tử sẽ lớn hơn ở mẫu

Xét số nguyên tố $p$ bất kì

$v_p((3a+3b)!(2a)!(3b)!(2b)!)=\sum_{k=1}\left \lfloor \frac{3a+3b}{p^k} \right \rfloor+\sum_{k=1}\left \lfloor \frac{2a}{p^k} \right \rfloor+\sum_{k=1}\left \lfloor \frac{3b}{p^k} \right \rfloor+\sum_{k=1}\left \lfloor \frac{2b}{p^k} \right \rfloor$

$v_p((2a+3b)!(a+2b)!(a+b)!a!(b!)^2)=\sum_{k=1}\left \lfloor \frac{2a+3b}{p^k} \right \rfloor+\sum_{k=1}\left \lfloor \frac{a+2b}{p^k} \right \rfloor$

                                                                                        $+\sum_{k=1}\left \lfloor \frac{a+b}{p^k} \right \rfloor+\sum_{k=1}\left \lfloor \frac{a}{p^k} \right \rfloor+2\sum_{k=1}\left \lfloor \frac{b}{p^k} \right \rfloor$

Đặt  $x_k=\frac{a}{p^k},y_k=\frac{b}{y^k}$

Bài toán quy về chứng minh :

$$\left \lfloor  3x+3y\right \rfloor+\left \lfloor  2x\right \rfloor+\left \lfloor  3y\right \rfloor+\left \lfloor  2y\right \rfloor \geq \left \lfloor  2x+3y\right \rfloor+\left \lfloor  x+2y\right \rfloor+\left \lfloor  x+y\right \rfloor+\left \lfloor  x\right \rfloor+2\left \lfloor  y\right \rfloor $$

Ai giúp mình chứng minh nốt phần này nhé     

$Cho  k  \epsilon \mathbb{N} , k>1 .Cmr$ ton tai huu han x thoa man:

    $\sigma (x)-x=k$

Tớ nghĩ là sẽ xét phân tích tiêu chuẩn của $n$ và công thức rồi lắp vào.

Do có sự tham gia của các số nguyên tố nên chỉ tồn tại hữu hạn

Bài toán:

Tìm các số nguyên không âm $a,b$ thỏa mãn:  

$$a^2+2.3^b=a(2^{b+1}-1)$$