Hieutran2000

Ngày 1
Bài 1: Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} 2y^{3}+7y+2x\sqrt{1-x}= 3\sqrt{1-x}+3(2y^{2}+1)
& \\ \sqrt{2y^{2}-4y+3} =5-y+\sqrt{x+4}
&
\end{matrix}\right.$
Bài 2: Cho dãy số $(x_{n})$ được xác định bởi $x_{1}= 4; x_{n+1}= \frac{x_{n}^{4}+9}{x_{n}^{3}-x_{n}+6} \forall n \in \mathbb{N^{*}}$.
1. Chứng minh rằng $lim x_{n}= +\infty$.
2. Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $y_{n}= \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}^{3}+3}$. Tìm $lim y_{n}$.
Bài 3: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn $(J)$ qua $B, C$ cắt cạnh $AB$ và $AC$ tại $F$ và $E$ tương ứng. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ 2 là $D$.
1. Gọi $P$ và $Q$ là giao điểm thứ 2 của $DE$ và $DF$ với $(O)$. Chứng minh các đường thẳng $PC, BQ$ và $AO$ đồng quy.
2. Giả sử $EF$ cắt $BC$ ở $K$. Gọi $O_{1}, O_{2}$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AEF$ và tam giác $KFB$. Chứng minh trực tâm tam giác $O_{1}O_{2}O$ nằm trên $AB$.
Bài 4: Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R^{+}}\rightarrow \mathbb{R^{+}}$ thỏa mãn:
$f(y)f(x+f(y))= f(x)f(xy), \forall x,y \in \mathbb{R^{+}}$.
Bài 5:
1. Cho đa giác đều $A_{1}A_{2}...A_{2017}$. Có bao nhiêu tam giác nhọn có đỉnh là đỉnh của đa giác trên?
2. Cho $2n+3$ điểm phân biệt trên mặt phẳng sao cho 3 điểm bất kì không thẳng hàng và 4 điểm bất kì không cùng nằm trên một đường tròn.
a. Chứng minh tồn tại đường tròn $(C)$ đi qua 3 trong số các điểm trên sao cho trong các điểm còn lại có $n$ điểm nằm trong và $n$ điểm nằm ngoài đường tròn.
b. Xét $2n$ điểm đã cho và không thuộc đường tròn $(C)$, nối tất cả các đoạn thẳng có đầu mút là 2 trong số các điểm này. Các đoạn thẳng này và đường tròn $(C)$ có thể có nhiều nhất bao nhiêu điểm chung?

Ngày 2
Bài 1: Xét các số thực $a, b, c \in [0; 1]$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$P= \frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)$
Bài 2: Cho dãy đa thức $(P_{n})_{n=0}^{+ \infty }$ được xác định $P_{0}(x)= x$ và
$P_{n+1}(x)= -2xP_{n}(x)+ P_{n}^{'}(x), \forall n \in \mathbb{N^{*}}$
1. Chứng minh $P_{n}^{'}(x)= -2(n+1)P_{n-1}(x)$ với mọi số nguyên dương $n$;
2. Tính $P_{2017}(0)$.
Bài 3: Cho hai điểm cố định $B, C$ trên đường tròn $(O)$. Một điểm $A$ thay đổi trên đường tròn $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ luôn là tam giác nhọn và không cân tại $A$. Đường phân giác trong góc $\widehat{BAC}$ cắt đường thẳng $BC$ tại $D$ và cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $E$. Điểm $F$ nằm trên $BC$ sao cho $FD= FE$.
1. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $EF$. Chứng minh rằng $A, O, H$ thẳng hàng, từ đó suy ra $H$ luôn thuộc một đường tròn cố định.
2. Một đường tròn tâm $I$ tiếp xúc với các tia $AB, AC$ và tiếp xúc với đường thằng $EF$ tương ứng tại $M, N, P$ ($I$ và $A$ nằm về cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $EF$). Gọi $Q$ là điểm trên đường thẳng $MN$ sao cho $PQ$ vuông góc với $EF$. Chứng minh rằng đường thẳng $AQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ di động trên đường tròn $(O)$.
Bài 4: Cho $a, b$ là hai số thực thỏa mãn $a^{p}- b^{p}$ là số nguyên dương với mỗi số nguyên tố $p$. Chứng minh rằng $a, b$ là các số nguyên.
Bài 5:
1. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho 101 điểm $A_{k}(k;100), k= 0,1,...,100$. Tìm số đoạn thẳng $OA_{k}$ không đi qua điểm nào có tọa độ nguyên (cả hoành độ và tung độ đều nguyên) trừ 2 đầu mút của nó.
2. Cho đa giác lồi có lẻ đỉnh. Mỗi cạnh được tô bởi 1 trong 3 màu: đỏ, xanh, vàng. Giả sử ban đầu các màu được tô cho các cạnh theo chiều kim đồng hồ là đỏ, xanh, đỏ,..., đỏ, xanh, vàng. Mỗi bước có thể đổi màu 1 cạnh sao cho không có 2 cạnh kề nhau (chung đỉnh) được tô cùng màu. Hỏi sau hữu hạn bước có thể nhận được trạng thái mà màu được tô cho các cạnh theo chiều kim đồng hồ là đỏ, xanh, đỏ, xanh,..., đỏ, vàng, xanh hay không?

Trong 1 cuộc thi toán học có một số thí sinh là bạn của nhau. Gọi 1 nhóm các thí sinh là đầy đủ nếu 2 thí sinh bất kì trong nhóm đều là bạn của nhau. Số các thí sinh trong 1 nhóm đầy đủ được gọi là kích thước của nhóm đó. Biết rằng kích thước lớn nhất của các nhóm đầy đủ là số chẵn. Chứng minh có thể sắp xếp các thí sinh vào 2 phòng sao cho kích thước lớn nhất của các nhóm đầy đủ ở phòng này bằng kích thước lớn nhất các nhóm đầy đủ ở phòng kia. 

Phân hoạch tập $\left \{ 1,2,...n \right \}$ thành $k$ tập con ( có thể =$\varnothing$) sao cho: trong mỗi tập con không tồn tại 3 số mà có 1 số bằng tổng 2 số còn lại. Chứng minh: $max (n)\leq [k!e]-1$.

Trong 1 giải đấu cờ vua có $2017$ người chơi tham gia. Mỗi người chơi phải đấu với $2016$ người chơi còn lại và không người nào chơi quá 1 trận trong cùng 1 ngày. Xác định số ngày nhỏ nhất cần để kết thúc giải đấu.

Bài 1: Ta gọi 1 bộ 5 số nguyên $a,b,c,d,e$ là "sắp xếp được" nếu chúng được sắp xếp theo thứ tự nào đó sao cho $a-b+c-d+e=29$. Xác định mọi bộ 2017 số nguyên $n_1, n_2, . . . , n_{2017}$ sao cho nếu sắp xếp chúng trên vòng tròn theo chiều kim đồng hồ thì bất kì bộ 5 số nguyên nào theo thứ tự đó trên vòng tròn đều "sắp xếp được".
Bài 2: Cho tam giác $ABC$ với $AB<AC$. $D$ là giao điểm của đường phân giác trong góc $BAC$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. $Z$ là giao điểm của trung trực $AC$ và đường phân giác ngoài góc $BAC$. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng $AB$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADZ$.
Bài 3: Kí hiệu $A(n)$ là số các dãy các số nguyên dương $a_1\ge a_2\ge\cdots{}\ge a_k$ với $a_1+\cdots{}+a_k = n$ và mỗi số $a_i +1$ là một lũy thừa của 2 $(i = 1,2,\cdots{},k)$. Kí hiệu $B(n)$ là dãy các số nguyên dương $b_1\ge b_2\ge \cdots{}\ge b_m$ mà $b_1+\cdots{}+b_m =n$ và $b_j\ge 2b_{j+1}$ $(j=1,2,\cdots{}, m-1)$. Chứng minh với mọi số nguyên dương $n$ thì $A(n)=B(n)$.
Bài 4: Gọi một số hữu tỉ $r$ là "mạnh" nếu $r$ có thể biểu diễn được dưới dạng $\dfrac{p^k}{q}$ với các số nguyên dương $p,q$ nguyên tố cùng nhau và số nguyên dương $k>1$ nào đó. Cho $a,b,c$ là các số hữu tỉ dương thỏa mãn $abc=1$. Giả sử tồn tại các số nguyên dương $x,y,z$ sao cho $a^x + b^y + c^z$ là một số nguyên. Chứng minh $a,b,c$ đều "mạnh".
Bài 5: Cho số nguyên dương $n$. Một cặp gồm các bộ $n$ số nguyên $(a_1,\cdots{}, a_n)$ và $(b_1,\cdots{}, b_n)$ được gọi là "cặp tinh tế" nếu $$|a_1b_1+\cdots{}+a_nb_n|\le 1.$$ Xác định số lớn nhất các bộ $n$ số nguyên, khác nhau mà bất kì 2 bộ nào trong chúng cũng tạo thành một "cặp tinh tế".

Nguồn: https://artofproblem...51627_2017_apmo