olympiachapcanhuocmo

Cho a,b,c là các số không âm thoả mãn : a+b+c=1 

Tìm GTNN của :A=$\frac{a^{3}}{2a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{3}}{2b^{2}+c^{2}}+\frac{c^{3}}{2c^{2}+a^{2}}$

Tìm nghiệm nguyên của phương trình : $x^{3}-2x^{2}+xy=x^{2}y^{3}+y^{2}+5$

Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình : $\left ( x+y+z \right )^{2}=5xyz$

-Bạn có thể giải bằng kiến thức THCS được không ?

-Hãy tìm ra đúng bản chất của nó , một cách thật đơn giản , dễ hiểu , đừng quá máy móc được không ?

- Và đây là lời giải của tôi , các bạn tham khảo và cho ý kiến nhé :

$\sum \frac{1}{a+b}$

=$\frac{\sum a^{2}+3\sum ab}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )(c+a)}$

$=\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}+1}{\left ( a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\right) }$

$=\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}+1}{a+b+c-abc}$

- Đến đây ta có bổ đề sau : $a+b+c+\frac{5}{3}abc\geq 2$ với giả thiết như đề bài ( Chứng minh bằng phép thế--các bạn tự cm nhé )

- Do đó : bđt cần chứng minh tương đương với :

$\frac{x^{2}+1}{x-\frac{1}{5}(6-3x)}\geq \frac{5}{2}\Leftrightarrow (x-2)^{2}\geq 0$ luôn đúng

 

Bài 101:Cho  a,b,c là các số thực không âm thoả mãn : ab+bc+ca=1

Chứng minh rằng : $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{5}{2}$

Tìm nghiệm nguyên của Hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix}x^{5}+y^{5}+z^{5}=12 & & \\ x+y+z= 7& & \end{matrix}\right.$

- Gửi các bạn yêu BĐT tài liệu này ! Mong rằng nó sẽ giúp ích cho các bạn ! 

- Nếu hay  thì like nhé !

 

Cho $\left\{\begin{matrix}x,y,z\epsilon [-1,1] & & \\ x+y+z=0 & & \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng : $\sqrt{1+x+y^{2}}+\sqrt{1+y+z^{2}}+\sqrt{1+z+x^{2}}\geq 3$

 

 

P/S: Đề cao sự sáng tao, nhận xét , phân tích cho bài toán !      

 

Ta có : $x^{3}+y^{4}=7$

           $\Leftrightarrow y^{4}+1=(2-x)(\left ( x+1 \right )^{2}+3)$ (*)

- Nếu x chẵn thì từ giả thiết , suy ra : y lẻ 

   VT (*) chia 8 dư 2

   VP (*) chia hết cho 8 

Do đó : $x,y\epsilon \varnothing$

- Nếu x lẻ suy ra VP(*) có ước nguyên tố 4k+3

  Do đó , áp dụng bổ đề : $a^{2}+b^{2}\vdots p$ (p=4k+3; p là số nguyên tố ) $\Rightarrow p\epsilon ƯC(a;b)$

Ta có ngay điều phải cm !

Tiếp thế nào hả bạn ?

Tôi nghĩ bạn nên bỏ ngay cái kiểu làm nửa chừng như thế ạ !

theo cô si $x^{2}+ (1-x^{2})\geqslant 2x\sqrt{1-x^{2}}$

$\frac{1}{2x}\geqslant \sqrt{1-x^{2}}$ (do x dương)

tới đây rồi ....

Dấu bằng không xảy ra bạn à ?

Ta có : M=$x^{1999}+x^{1997}+1=x(x^{1998}-1)+x^{2}(x^{1995}-1)+x^{2}+x+1=BS(x^{2}+x+1)$

 

Do đó , để M là số nguyên tố $\Leftrightarrow M=x^{2}+x+1$

 

                                               $\Leftrightarrow x=1$

Đây là chuyên đề đầu tiên mà em viết ra về PT , mong mọi người cho ý kiến để em học hỏi !

   

Đúng vậy anh/em/bạn cũng vậy à

Dạ thà rằng  anh cho ý kiến còn hơn ?

Giải phương trình : $\sqrt[3]{ax+b}=m.x^{2}+n.x+p$

 

Với x là ẩn , a,b,m,n,p là tham số