Mình xin trình bày lời giải bài này như sau:
Ta có: $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1\implies \sqrt{2}-1=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$
Do đó: $S_{k}=(\sqrt{2}+1)^{k}+\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{k}}$
Từ đây, bắt đầu tính toán $S_{m+n}+S_{m-n}$ và $S_m.S_n$, thu được kết quả như sau:
+ $S_{m+n}.S_{m-n} =(\sqrt{2}+1)^{m+n}+\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{m+n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{m}}{(\sqrt{2}+1)^{n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{n}}{(\sqrt{2}+1)^{m}} (I)$
+ $S_m.S_n =(\sqrt{2}+1)^{m+n}+\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{m+n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{m}}{(\sqrt{2}+1)^{n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{n}}{(\sqrt{2}+1)^{m}} (II)$
Từ (I) và (II) ta thu được điều phải chứng minh