ngocanhnguyen10

Em thấy thông báo có trả lời mới ở [CHUYÊN ĐỀ] CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC http://diendantoanho...-bất-đẳng-thức/

Nhưng khi vào xem thì không thấy bài viết đó. Đã mấy lần như vậy rồi. Em rất thắc mắc không hiểu tại so lại như vậy. Mong các ĐHV trả lời giúp em

Em cảm ơn!

 Chứng minh bất đẳng thức là một trong những loại toán gây khó khăn cho học sinh THCS. Sau đây mình xin giới thiệu một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và các ví dụ có liên quan đến căn thức. Mong rằng các bạn sẽ ủng hộ

 

I - PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

 

Ví dụ 1: Chứng minh rằng:

                                $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}<\sqrt{\frac{a+b}{2}}$     với $a>0;b>0; a\neq b$      (1)

Giải

 

$(1)\Leftrightarrow \frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}<\frac{a+b}{2}$

$\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}<2a+2b$

$\Leftrightarrow 0

$0<(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}$                     (2)

Do $a\neq b$ nên bất đẳng thức (2) đúng, vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh.

 

Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức

                      $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}$                       (1)

Giải

 

$(1)\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}\geq a^{2}+c^{2}+2ac+b^{2}+d^{2}+2bd$

$\Leftrightarrow \sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}\geq ac+bd$

Nếu ac + bd < 0 thì (2) được chứng minh

Nếu $ac+bd\geq 0$ thì (2) tương đương

                        $(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+2abcd$

                        $(ad-bc)^{2}\geq 0$                 (3)

Bất đẳng thức (3) đúng, vậy đẳng thức (1) được chứng minh.

 

II - PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI, LÀM GIẢM

 

Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức sau với $n\in \mathbb{N},n\geq 2$

                  $2\sqrt{n}-3<\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}-2$

Giải

 

Đặt $A=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}$

a) Chứng minh $A>2\sqrt{n}-3$ bằng cách làm giảm mỗi số hạng của A

$\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k}}>\frac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})$   với mọi $k\in$ N*

Do đó $A>2[(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})+...+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})]=2(\sqrt{n+1}-\sqrt{2})=2\sqrt{n+1}-2\sqrt{2}>2\sqrt{n+1}-3>2\sqrt{n}-3.$

b) Chứng minh $A<2\sqrt{n}-2$ bằng cách làm trội mối số hạng của A

$\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k}}<\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}=2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})$   với mọi $k\in$ N*

Do đó $A<2[(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})]+...+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{2}-\sqrt{1})=2(\sqrt{n}-\sqrt{1})=2\sqrt{n}-2$

 

III - PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐÃ BIẾT

 

Ta nhắc lại ở đây ba bất đẳng thứ quan trọng

 

1. Tổng của hai số nghịch đảo nhau

                          $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2$ với x, y là hai số cùng dấu

 

2. Bất đẳng thức Cô-si 

 

Cho a, b, c là các số không âm. Khi đó:

                                             $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$

                                             $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$

 

Tổng quát: Trung bình cộng của n số không âm lớn hơn hoặc trung bình nhân của chúng

$\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}.a_{2}...a_{n}}$ với $a_{1}, a_{2},..., a_{n}$ là các số không âm.

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  $a_{1}= a_{2}=...= a_{n}$

 

3. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki 

 Cho hai bộ số a, b, c và x, y, z. Khi đó:

                                      $(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})\geq (ax+by)^{2}$

                                 $(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq (ã+by+cz)^{2}$

 

Tổng quát: Có hai bộ n số: $(a_{1}, a_{2},..., a_{n})$ và $(b_{1}, b_{2},..., b_{n})$.Tích của tổng các bình phương n số của bộ số này và tổng các bình phương n số của bộ số kia lớn hơn hoặc bằng bình phương của tổng n tích hai số tương ứng của hai bộ số đó.

 

$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})\geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}+b_{n})^{2}$

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ và  $(b_{1},b_{2},...,b_{n})$ là hai bộ số tỉ lệ với nhau tức là $\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=...=\frac{a_{n}}{b_{n}}$ với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0.

 

Chứng minh

Đặt $A=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2},B=b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2},C=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}$. Cần chứng minh $AB\geq C^{2}$

 

Nếu A = 0 thì $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$, bất đẳng thức được chứng minh. Cũng vậy nếu B = 0. Do đó ta chỉ cần xét trường hợp A và B khác 0

Với mọi x ta có:

$(a_{1}x-b_{1})^{2}\geq 0\Rightarrow a_{1}^{2}x^{2}-2a_{1}b_{1}x+b_{1}^{2}\geq 0$

$(a_{2}x-b_{2})^{2}\geq 0\Rightarrow a_{2}^{2}x^{2}-2a_{2}b_{2}x+b_{2}^{2}\geq 0$

...

$(a_{n}x-b_{n})^{2}\geq 0\Rightarrow a_{n}^{2}x^{2}-2a_{n}b_{n}x+b_{n}^{2}\geq 0$

Cộng từng vế n bất đẳng thức trên được 

$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})x^{2}-2(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})x+(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})\geq 0$

tức là                                               $Ax^{2}-2Cx+B\geq 0$                               (1)

Vì (1) đúng với mọi x nên thay $x=\frac{C}{A}$vào (1) ta được

 $A.\frac{C^{2}}{A^{2}}-2.\frac{C^{2}}{A}+B\geq 0\Rightarrow B-\frac{C^{2}}{A}\geq 0\Rightarrow AB-C^{2}\geq 0\Rightarrow AB\geq C$

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi $a_{1}x=b_{1},a_{2}x=b_{2},...,a_{n}x=b_{n}$ tức là $\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=...=\frac{a_{n}}{b_{n}}$ với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0

 

Ví dụ 4: Co a, b, c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức:

                                    $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{b}}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}$

 

Giải

Cách 1. Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:

                $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b+c}{4}\geq 2\sqrt{\frac{a^{2}}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=2.\frac{a}{2}=a$

 Suy ra  $\frac{a^{2}}{b+c}\geq a-\frac{b+c}{4}$

Tương tự $\frac{b^{2}}{a+c}\geq b-\frac{a+c}{4}$; $\frac{c^{2}}{a+b}\geq c-\frac{a+b}{4}$

Cộng từng vế của ba bất đẳng thức ta được

 $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{b}}{a+b}\geq (a+b+c)-\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+b+c}{2}$

Cách 2. Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có

 $\left [ \left ( \frac{a}{\sqrt{b+c}} \right )^{2} + \left (\frac{b}{\sqrt{a+c}} \right )^{2}+\left ( \frac{c}{\sqrt{a+b}} \right )^{2}\right ].[(\sqrt{b+c})^{2}+(\sqrt{a+c})^{2}+(\sqrt{a+b})^{2}]$

$\geq \left ( \frac{a}{\sqrt{b+c}}.\sqrt{b+c}+\frac{b}{\sqrt{a+c}}.\sqrt{a+c}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}.\sqrt{a+b} \right )^{2}$

$\Rightarrow \left ( \frac{a^{2}}{b+c} +\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\right )[2(a+b+c)]\geq (a+b+c)^{2}$

$\Rightarrow$ $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{b}}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}$

 

Ví dụ 5. Cho a, b, c là các số không âm và a + b + c = 1. Chứng minh:

$a) \sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}<3,5$

$b)\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq \sqrt{6}$

 

Giải

 a) .Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có

                              $\sqrt{a+1}=\sqrt{1(a+1)}\leq \frac{(a+1)+1}{2}=\frac{a}{2}+1$

Tương tự :  $\sqrt{b+1} \leq \frac{b}{2}+1$; $\sqrt{c+1} \leq \frac{c}{2}+1$

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta được

        $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\leq\frac{a+b+c}{2}+3=3,5$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a + 1 = b + 1 = c + 1 = 1 $\Leftrightarrow$  a = b = c = 0, Trái với giả thiết a + b + c = 1

 Vậy $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}<3,5$

b) 

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, có:

$(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})^{2}\leq 3(a+b+b+c+c+a)=3.2=6$

$\Rightarrow $ $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq \sqrt{6}$

 

IV - PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG

 

Ví dụ 6. Cho a + b = 2. Chứng minh rằng

                                             $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\leq 2$

Giải

Đặt $\sqrt[3]{a}=m$; $\sqrt[3]{b}=n$. Ta có $m^{3}+n^{3}\leq 2$

Cần chứng minh $m+n\leq 2$

Giả sử m + n > 2 thì 

  $(m+n)^{3}>8\Rightarrow m^{3}+n^{3}+3mn(m+n)>8\Rightarrow 2+3mn(m+n)>8\Rightarrow mn(m+n)>2\Rightarrow mn(m+n)>m^{3}+n^{3}$

Chia hai vế cho số dương m + n ta có

              $mn>m^{2}-mn+n^{2}\Rightarrow 0>(m-n)^{2}$    (vô lí)

Vậy $m+n\leq 2$

 

V - PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

 

Ví dụ 7. Chứng minh rằng $\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}$

 

Giải

Hiển nhiên mệnh đề dúng với n = 2

Giả sử mệnh đề đúng với n = k. Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1

Giả sử $a_{1}\leq a_{2}\leq ...\leq a_{k}\leq a_{k+1}$ thì $a_{k+1}\geq \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{k}}{k}$

Đặt $\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{k}}{k}=x$ thì $x\geq 0$, ta có $a_{k+1} =x+y$ với $y\geq0$ và 

$x^{k}\geq a_{1}a_{2}...a_{k}$ (do giả thiết quy nạp). Ta có:

$\left ( \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{k}+a_{k+1}}{k+1} \right )^{k+1}=\left ( \frac{kx+x+y}{k+1} \right )^{k+1}=\left ( x+\frac{y}{k+1} \right )^{k+1}\geq x^{k+1}+(k+1).\frac{y}{k+1}.x^{k}=x^{k+1}+x^{k}y=k^{k}(x+y)\geq a_{1}a_{2}...a_{k}a_{k+1}$

Suy ra  $\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{k}+a_{k+1}}{k+1}\geq \sqrt[k+1]{a_{1}a_{2}...a_{k+1}}$

Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên $n\geq 2$

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi $a_{1}=a_{2}=...a_{n}$

Giải phương trình: $x^{2}+3x+1=(x+3)\sqrt{x^{2}+1}$        ₍₁₎

Bài này mk giải thế này:

    Từ ₍₁₎ => $(x^{2}+3x+1)^{2}=\left [ (x+3)\sqrt{x^{2}+1} \right ]^{2}$

             <=>$x^{4}+6x^{3}+2x^{2}+9x^{2}+6x+1=x^{4}+x^{2}+6x^{3}+6x+9x^{2}+9$

             <=>$2x^{2}+1=x^{2}+9$

             <=>$x^{2}=8$

             => $x=\sqrt{8}$ hoặc  $x=-\sqrt{8}$

Kết quả này là đúng, nhưng cô giáo mk bảo không được bình phương 2 vế của p/t, phải tìm điều kiện để hai vế dương. Mk nghĩ chỉ có bất phương trình mới ko đc bình phương. Các bạn cho mk ý kiến nhé! Giải thích luôn là vì sao nha!

Hôm qua ngồi xem lại box đại số, thấy có nhiều bài toán khá hay đã được đăng lâu rồi mà không có lời giải. Mình tổng hợp lại thành một topic để các bạn cùng thảo luận. Cũng có topic như thế này rồi nhưng đã được đăng lâu rồi hơn nữa lại bị khóa. Các bạn thảo luận sôi nổi để ủng hộ topic nhé!

 

 

1) Cho đa thức $P_{(x)}=x^{2}+bx+c$    $(b;c\in \mathbb{Z})$

Biết rằng $(x^{4}+6x^{2}+25)\vdots P_{(x)}$ và $(3x^{4}+4x^{2}+28x+5)\vdots P(x)$

Tính $P_{(-2)}$

 

2) Cho các phương trình : $x^{2}+ax+1=0;x^{2}+bx+1=0;x^{2}+cx+1=0$

Biết rằng tích của một nghiện của phương trình thứ nhất với một nghiệm của phương trình thứ hai là một nghiệm của phương trình thứ ba.

CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$

 

3) Giải phương trình: $x^{4}-8x-9=0$

 

4) Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^{5}+y^{5}=120y+3$

 

5) Rút gọn: $\frac{1}{(x+y)^{3}}\left (\frac{1}{x^{4}}-\frac{1}{y^{4}} \right )+\frac{2}{(x+y)^{4}}\left ( \frac{1}{x^{3}}-\frac{1}{y^{3}} \right )+\frac{1}{(x+y)^{5}}\left ( \frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}} \right )$

 

6) Biết $x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình: $x^{2}-Sx+P=0$

Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là $x_{1}^{16}$ và $x_{2}^{16}$

 

7) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $2(2x^{2}+1)=(y-x)(x^{2}+xy+y^{2}-1)$

 

8) Giải phương trình: $\sqrt{x^{2}-2}=\sqrt[3]{2-x^{3}}$

 

9) Giải phương trình: $x^{4}+ax^{3}+bx+c=0$ trong đó $a^{3}+8b=0$

 

10) Cho a; b; c là các số thực thỏa mãn: $-1\leq a,b,c\leq 4; a+2b+3c\leq 4$

Tìm GTNN của $a^{2}+2b^{2}+3c^{2}$

 

11) Cho a; b; c là các số thực $(a\neq b)$ sao cho hai phương trình $x^{2}+ax+1=0, x^{2}+bx+c=0$ có nghiệm chung và hai phương trình $x^{2}+x+a=0;x^{2}+cx+b=0$ có nghiệm chung

Tính a + b + c

 

12) Cho a; b; c dương. CMR: $\frac{a+3c}{a+b}+\frac{a+3b}{a+c}+\frac{2a}{b+C}\geq 5$

 

13) Cho hai đường thẳng $(d_{1}):2m-1$ và $(d_{2}):4x-3y=m+1$

a. CMR: Với m thay đổi thì d₁ và d₂ luôn cắt nhau tại M

b. CMR: M nằm trên một đường thẳng cố định

c. Gọi tọa độ của M(x₁;y₁). Tìm GTNN của $Q=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}$

 

14) Cho tam giác ABC có $2cotB=cotA+cotC.$

CMR: $cot^{6}A+cot^{6}C\geq 2cot^{6}B$

 

15) Cho tam giác ABC có $a\geq b\geq c\geq 1$

CMR: $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq abc$

 

16) Tìm nghiệm nguyên dương: $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}=1$

 

17) Tìm nghiệm nguyên: $x^{2}+y^{2}=xy+2x+3y-2$

 

18) Giả sử phương trình: $x^{2}+ax+b=0$ có hai nghiệm lớn hơn 1

CMR: $\frac{a^{2}-a-2b}{b-a+1}\geq \frac{2\sqrt{b}}{1+\sqrt{b}}$

 

19) Cho a; b; c thỏa mãn $a\leq b\leq c$ và $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Tìm GTNN $P=ab^{2}c^{3}$

 

20) Cho $a=\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}+\sqrt[3]{1-\sqrt{11}}$

CMR: $a^{9}-6a^{6}+282a^{3}=8$

 

21) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} xy^{2}-2y+3x^{2}=0 & & \\ y^{2}+x^{2}y+2x=0& & \end{matrix}\right.$

 

22) Tìm x; y; z; t nguyên  $\left\{\begin{matrix} xy-3zt=1 & & \\ xz+yt=2 & & \end{matrix}\right.$

 

23) Tìm GTLN của biểu thức $\sqrt{4x-x^{3}}+\sqrt{x+x^{3}}$ với $0\leq x\leq 2$

 

24) Cho phương trình: $\frac{mx^{2}+(m-3)x+2m-1}{x+3}=0$

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho $21x_{1}+7m(2+x_{2}+x_{2}^{2})=58$

 

25) Giả sử a, b, c, d là các số thự dương thỏa mãn: abc + bcd + cad + bad = 1

Tìm GTNN của: $P=4(a^{3}+b^{3}+c^{3})+9d^{3}$

 

26) Giải phương trình: $x^{2}-4xy+5y^{2}+20x-22y+12=0$

 

27) Cho phương trình: $2013x^{2}-(m-2014)x-2015=0$

Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: $\sqrt{x_{1}^{2}+2014}-x_{1}=\sqrt{x_{2}^{2}+2014}+x_{2}$

 

28) Cho x; y; z; t là 4 số dương nhỏ hơn 1, thỏa mãn: xyzt = (1 - x)(1 - y)(1 - z)(1 - t)

CMR: $x(1-t)+t(1-z)+z(1-y)+y(1-x)\geq 1$

 

29) Tìm các bộ số tự nhiên $(a_{1};a_{2};...a_{2014})$ thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix} a_{1}+a_{2}+...+a_{2014}\geq 2014^{2} & & \\ a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{2014}^{2}\leq 2014^{3}+1 & & \end{matrix}\right.$

 

30) Tìm giao điểm của hai đường thẳng $\sqrt[3]{1-\sqrt{2}}x+2y-1=0$ và $\sqrt{1-\sqrt[3]{2}+\sqrt{3}}.x+2\sqrt[3]{1-\sqrt{8}}.y=0$

 

31) Rút gọn: $\frac{(x-y)^{2}-3xy(x+y)+y^{3}}{x-6y}$

 

32) CMR: $174^{2n-1}+1212.1037^{2n+1}\vdots 3633$           $\left (n\in \mathbb{N};n\neq 0 \right )$

 

33) CMR: $\frac{1}{5}+\frac{1}{15}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{1985}<\frac{9}{20}$

 

34) CMR: $80t^{4}+20t^{3}-18t^{2}-9t+8\geq 0$  với mọi t

 

35) Cho a; b; c đôi một khác nhau

Giải phương trình: $\frac{(b-c)(1+a^{2})}{x+a^{2}}+\frac{(c-a)(1+b^{2})}{x+b^{2}}+\frac{(a-b)(1+c^{2})}{x+c^{2}}=0$

 

Vẫn còn nữa...) nhưng tạm thế này thôi nhé! Bạn nào có thêm bài thì đăng vào cho topic thêm phong phú nha

Cho a, b, c là số đo của các góc nhọn thỏa mãn: $cos^{2}a+cos^{2}b+cos^{2}c\geq 2$

Chứng minh: $(tana.tanb.tanc)^{2}\leq \frac{1}{8}$