Minh Hanh Nguyen

$x,y,z>0$ và $xyz=1$

chứng minh: $\sum \frac{\sqrt{m+x^{3}+y^{3}}}{xy}\geq 3\sqrt{3}$

với $m\in N*$

a,b,c>0 và abc=1 

tìm max: $\sum \frac{a^{4}}{b^{4}+c^{4}+a}$

Bài 11:$\sqrt{(a+b)(c+d)}\geq \sqrt{ac}+\sqrt{bd}\Leftrightarrow (\sqrt{(a+b)(c+d)})^{2}\geq (\sqrt{ac}+\sqrt{bd})^{2}\Leftrightarrow (ac+ad+bc+bd)\geq (ac+2\sqrt{abcd}+bd)\Leftrightarrow (\sqrt{ad}-\sqrt{bc})^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

Bất đẳng thức đã được cm

Bài 12: Áp dụng bất đẳng thức Schwarzt ta có 

a)$\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+a}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2} (đpcm)$

b)$\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+d}+\frac{d^{2}}{d+a}\geq\frac{(a+b+c+d)^{2}}{2(a+b+c+d)}=\frac{a+b+c+d}{2}$ (đpcm)

$một cách giải khác cho bài 11 bất đẳng thức đề bài tương đương với \sqrt{\frac{a}{a+d}\cdot \frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{b+c}\cdot \frac{d}{a+d}}\leq 1 áp dụng bđt AMGM \sqrt{\frac{a}{a+d}\cdot \frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{b+c}\cdot \frac{d}{a+d}}\leq \frac{\frac{a}{a+d}+\frac{b}{b+c}}{2}+\frac{\frac{c}{b+c}+\frac{d}{a+d}}{2}=1 dấu bằng khi \frac{a}{a+d}=\frac{b}{b+c}$

Cho $a,b,c$ là các số thực. Chứng minh rằng:

                           $(a^2+b^2+c^2)^2\geq 3(a^3b+b^3c+c^3a)$

$xin thọ giáo ông một bài nhé Nguyễn, tui ngưỡng mộ ông lắm! ta có: \left ( a^{^2}+b^{2}+c^{2} \right )-3\left ( a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a \right )= \frac{1}{2}\left ( a^{2}-b^{2}+2bc-ab-ac \right )^{2}+\frac{1}{2}\left ( b^{2}-c^{2}+2ac-bc-ab \right )^{2}+\frac{1}{2}\left ( c^{2}-a^{2}+2ab-ac-bc \right )^{2} từ đó suy ra đpcm$