royal1534

 

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN MÔN TOÁN NĂM HỌC 2018 - 2019 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI.

Ngày thi thứ hai: 11 - 9 - 2018

Câu 2: Cho các số nguyên $m,n$ lớn hơn $1$ thỏa mãn trong $n$ số $x^{2}-x$ với $x=\overline{1,n}$ không có hai số nào có cùng số dư khi chia cho $m.$ Chứng minh rằng:

(a) $m\geq 2n-1.$

(b) $m=2n-1$ khi và chỉ khi $m$ là số nguyên tố lẻ.

 

Ý b) có thể làm như sau :

Giả sử $m=2n-1$ là hợp số. Đặt $2n-1=xy$ (với $y \geq x>1$). Thì ta phải có $x,y <n$ và $x,y$ lẻ 
Xét đẳng thức sau : $(n-a)^2-(n-a)-(n-b)^2+(n-b)=(b-a)(2n-1-a-b).$
Chọn $a,b$ sao cho $b-a=x;$ $b+a=y$. Hay $b=\frac{x+y}{2};$ $a=\frac{y-x}{2}$. 
Thì suy ra $(b-a)(2n-1+a+b)=x(xy-y)=xy(y-1)$ chia hết cho $xy$ 

Điều này suy ra tồn tại $0\leq a,b \leq n-1$, $a$ khác $b$ sao cho $(n-a)^2-(n-a) \equiv (n-b)^2-(n-b)$ (mod $2n-1$)
Điều này vô lý với đề bài. Vậy $2n-1$ phải là số nguyên tố. 
Từ đây đặt $2n-1=p$ thì dễ kiểm tra được tập các số ${x^2-x}$ với $x=\overline{1,n}$ chứa $n$ số dư khác nhau khi chia cho $p$. 
Vậy $m=2n-1 \Leftrightarrow m$ là số nguyên tố lẻ

Với mỗi số nguyên dương $m,$ kí hiệu $p(m)$ là ước nguyên tố lớn nhất của $m^{2}+1.$ Cho trước số thực dương $\alpha,$ chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho: $\frac{p(n)}{n}< \alpha .$ 

Có lẽ đề bài này sai. Chọn $\alpha=1$ thì. Với số tự nhiên $n$ bất kì thì tồn tại một ước $p$ của $n^2+1$ mà $p> \sqrt{n^2+1} >n$. Khi đó $\frac{p(n)}{n}>1$

Khởi động lạị topic nào

Bài 35.(Sáng tác)

Tìm các hàm: $\mathbb{N}^{*}\rightarrow \mathbb{N}^{*}$ thoả:

$\left\{\begin{matrix}f(1)=2, f(2)=3 & \\ f(f(n))=9f(n)+4n & \end{matrix}\right.$

 

Em xem lại đề bài này, thay $n=1$ thì suy ra $3=22$ vô lý

Cho $a\leq b\leq c$ nguyên dương. Chứng minh $\left \lfloor \frac{c}{a} \right \rfloor+1\geq \left \lfloor \frac{b-1}{a} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{c}{b} \right \rfloor$

Bài toán đêm Noel đẹp thật 
Lời giải vắn tất :
Định nghĩa phần nguyên của $ \left \lfloor \frac{x}{y} \right \rfloor$ là thương trong phép chia của $x$ cho $y$ 
+Với $b=a$, bài toán đúng.
+Xét $a+1 \leq b \leq c.$

Đặt $c=bx_{1}+x_{2};b=ay_{1}+y_{2} \Rightarrow c=ax_{1}y_{1}+x_{1}y_{2}+x_{2} $ ($x_{1},y_{1} \geq 1$; $x_{2} \leq b$ , $y_{2} \leq a$) 
Thì $\left \lfloor \frac{c}{b} \right \rfloor=x_{1};\left \lfloor  \frac{b-1}{a}\right \rfloor \leq y_{1}; \left \lfloor \frac{c}{a} \right \rfloor \geq x_{1}y_{1}$
Và ta đưa bài toán về chứng minh $x_{1}y_{1}+1 \geq x_{1}+y_{1} \leftrightarrow (x_{1}-1)(y_{1}-1) \geq 0$

Gọi $S(n)$ là tổng các chữ số của số tự nhiên $n$

Chứng minh rằng nếu $x>y$ thì $x-S(x)$$\geq y-S(y)$

Lời giải :

Đặt $x-y=k$

Đpcm $\Leftrightarrow k \geq S(x)-S(x-k)$.

Điều này đúng vì $k \geq S(k) \geq S(x)-S(x-k)$