royal1534

Bài toán : Tìm các số nguyên $a,b,c$ $(c \geq 0)$ thỏa $a^{n}+2^{n} \mid b^{n}+c$ với mọi $n$ nguyên dương đồng thời $2ab$ không là số chính phương.

Bài toán 1: Cho $p$ là số nguyên tố. Chứng minh tồn tại các số $x,y,z,t$ thỏa mãn :

$x^2+y^2+z^2=p.t$ (Với $0<t<p$)

Bài toán 2: Cho các số nguyên $a,b,c$ lớn hơn 1. Chứng minh rằng nếu với mỗi số nguyên dương $n$, tồn tại $k$ sao cho $a^k+b^k=2c^n$ thì $a=b$

Bài toán 3: Cho a,b,c là các số nguyên và $a \neq 0$ sao cho $an^2+bn+c$ là số chính phương với mọi $n>2013^{2014}$.

Chứng minh rằng tồn tại $x,y$ nguyên sao cho : $a=x^2,b=2xy,c=y^2$

Bài toán : Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình sau :

$$2^x+7^y=3^z$$

Bài toán: Cho tam giác $ABC$. $D$ là một điểm trên cạnh $BC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ cắt $AC$ tại điểm thứ $2$ là $E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ cắt $AB$ tại điểm thứ hai là $F$. Hai đường tròn $(O_{1}),(O_{2})$ qua hai điểm $A,E$ tiếp xúc $BC$ tại $M,N$. $X$ là giao điểm $ME$ và $NF$. $Y$ là giao điểm $MF$ và $NE$. Hai đường tròn $(O'_{1}).(O'_{2})$ qua hai điểm $A,F$ tiếp xúc $BC$ tại $P,Q$. $Z$ là giao điểm $PE$ và $QF$, $T$ là giao điểm $PF$ và $QE.$

Chứng minh $X,Y,Z,T$ đồng viên 

1.Hai đường tròn $S_{1},S_{2}$ có điểm chung $A$ (Không cần thiết phải tiếp xúc nhau). Qua A vẽ đường thẳng cắt $S_{1}$ tại B và $S_{2}$ tại $C$. Tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của hai đường tròn cắt nhau tại $D$. Chứng minh $\widehat{BDC}$ không phụ thuộc vào đường thẳng qua $A$

2.Trên cạnh $AB$ của tứ giác lồi $ABCD$ lấy một điểm $E$ khác $A,B$. Các đoạn $AC$ và $DE$ cắt nhau tại $F$. Chứng minh ba đường tròn $(ABC)$,$(CDF)$ và $(BDE)$ có ít nhất một điểm chung