Math Master

Tính $A=cos\frac{\pi}{2^2}.cos\frac{\pi}{2^3}.cos\frac{\pi}{2^4}.....cos\frac{\pi}{2^{n+1}}$

Ta có $2^n.Sin \frac{\pi}{2^{n+1}} .A = 2^{n-1}.cos\frac{\pi}{2^2}...cos\frac{\pi}{2^n}.Sin\frac{\pi}{2^n} = cos\frac{\pi}{2} = 0 \Rightarrow A = ...$

1.tìm GTLN của B= ($(\sqrt{a}+ \sqrt{b})^{4} +(\sqrt{a}+\sqrt{c})^{4} +(\sqrt{a}+\sqrt{d})^{4}+(\sqrt{b}+\sqrt{d})^{4}+(\sqrt{b}+\sqrt{c})^{4}+(\sqrt{c}+\sqrt{d})^{4}$ với a+b+c+d=1 và a,b,c,d>0

 

2.tìm GTNN của A= 3^x+3^y  với x+y=4

 

3.tìn GTNN của A=x²(2-x) biết x =<4

Bài $3$

$-A = x^2(x-2) $

Ta sẽ tìm max $-A$

$-2A = x.x(2x-4) \leq \frac{(4x-4)^3}{27} \leq \frac{12^3}{27} => A \geq \frac{-12^3}{54} = -32$

Dấu "=" xảy ra khi $x = 4$

Làm sa

 

Làm sao để bạn nghĩ đc như vậy

Phương pháp UCT đấy bạn . Dự đoán dấu bằng xảy ra tại $x=z=ky$ từ đó tìm $k$ đấy . Bạn có thể tham khảo trên Youtube

 

Bài 4

Cho x,y,z là các số thực khác 1 thoả mãn $xyz=1$. Chứng minh:

$(\frac{x}{x-1})^2+(\frac{y}{y-1})^2+(\frac{z}{z-1})^2\geq 1$

Vì $xyz = 1$ khi đó tồn tại các số thỏa mãn $x = \frac{a^2}{bc} , y = \frac{b^2}{ac} , z = \frac{c^2}{ab}$

$VT = \sum \frac{\frac{a^4}{b^2c^2}}{(\frac{a^2-bc}{bc})^2} = \sum \frac{a^4}{(a^2-bc)^2} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2-bc)^2 + (b^2-ac)^2 + (c^2-ab)^2}$

Ta sẽ Chứng minh $\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2-bc)^2 + (b^2-ac)^2 + (c^2-ab)^2} \geq 1$

$<=> (ab+bc+ac)^2 \geq 0 => (Q.E.D)$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$

 

Bài 2

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh:

$\frac{3a+b}{2a+c}+\frac{3b+c}{2b+a}+\frac{3c+a}{2c+b}\geq 4$

 

BĐT $<=> \frac{a+b-c}{2a+c} + \frac{b+c-a}{2b+a} + \frac{c+a-b}{2c+b} \geq 1 (*)$

Xét $VT (*) = \frac{(a+b-c)^2}{(2a+c)(a+b-c)} + \frac{(b+c-a)^2}{(2b+a)(b+c-a)} + \frac{(c+a-b)^2}{(2c+b)(c+a-b)} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc} = \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2} = 1$ $=> (Q.E.D)$

Người ta viết lên bảng phương trình:

$(x-1)(x-2)(x-3)...(x-8) = (x-1)(x-2)(x-3)...(x-8)$

Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất để có thể xóa $k$ nhân tử số $16$ nhân tử trên sao cho mỗi vế còn ít nhất một nhân tử và phương trình thu được vô nghiệm

1.Cho $x,y,z\geq 0$ và không đồng thời bằng 0 thỏa mãn $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}=1$ 

CMR: $x+y+z+\frac{1}{x+y+z}\geq \frac{10}{3}$

2.Cho $x,y,z>0$ CMR: $4(xy+yz+xz)\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})$

3.Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$ CMR: $A=\frac{ab}{c+ab}+\frac{bc}{a+bc}+\frac{ac}{b+ac}-\frac{1}{4abc}\leq -6$

4.Cho  $a,b>0$ và $a+b\leq 1$

CMR $A=\frac{a^4}{(b-1)^3}+\frac{b^4}{(a-1)^3}\geq -1$

Chém dễ trước =))

1)

Áp dụng Cauchy-Schwartz cho giả thiết $=> 1 \geq \frac{9}{x+y+z+6} => x+y+z \geq 3$

Đặt $P = x+y+z + \frac{1}{x+y+z} = \frac{x+y+z}{9} + \frac{1}{x+y+z} + \frac{8(x+y+z)}{9}$

$\geq \frac{2}{3} + \frac{8}{3} = \frac{10}{3} => (Q.E.D)$

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=48$

Chứng minh rằng $a^{2}\sqrt{2b^{3}+16}+b^{2}\sqrt{2c^{3}+16}+c^{2}\sqrt{2a^{3}+16}\leq 24^{2}$

Ta có $a^2\sqrt{2(b^3+8)} = a^2\sqrt{2(b+2)(b^2-2b+4)} \leq a^2 . \frac{2b+4+b^2-2b+4}{2} = a^2.\frac{b^2+8}{2}$

$=> VT \leq \frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{2} + 4(a^2+b^2+c^2) \leq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{6} + 4.48 = \frac{48^2}{6} + 48.4 = 24^2$

$=> (Q.E.D)$

cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: $x + 2y + 3z \geq 20$. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = $x + y + z + \frac{3}{x}+\frac{9}{2y}+\frac{4}{z}$

$P = \frac{3x}{4} + \frac{3}{x} + \frac{y}{2} + \frac{9}{2y} + \frac{z}{4} + \frac{4}{z} + \frac{x}{4} + \frac{2y}{4} + \frac{3z}{4} $

$\geq 3 + 3 + 2 + 5 = 13$

Dấu "=" xảy ra khi $x = 2, y = 3 , z = 4 $

Cho F=4²⁰¹⁰ +2²⁰¹⁴ . chứng minh F chia hết cho 10

$4^{2k}$ có tận cùng là 6 => $4^{2010}$ có tận cùng là $6$

$2^{2014} = 4^{1007}$

$4^{2k+1}$ có tận cùng là $4 => 2^{2014}$ có tận cùng là $4$

=> $4^{2010} + 2^{2014}$ có tận cùng là 0 nên chia hết cho $10$

Từ (1)=>x(x²+yz)=957 là số lẻ =>x(x²+yz)=957 là số lẻ mình có thể =>x; (x²+yz) đều là số lẻ được không bạn 

Đúng thôi bạn , mỗi người một hướng đi mà

1/Có các số nguyên x,y,z nào đồng thời thỏa mãn các đẳng thức sao không:

x³+xyz=957 (1)

y³+xyz=795 (2)

z³+xyz=579 (3)

2/ Tìm một số biết rằng 3 lần bình phương cũng nó đúng bằng 2 lần bình phương của số ấy 

Bài 1

Từ $(1) => x(x^2+yz) = 957$ là số lẻ

$=> x$ là số lẻ

Tương tự ta được $y,z$ lẻ

Khi đó $yz$ lẻ , $x^2 + yz$ chẵn $=> x(x^2+yz)$ chẵn mà $x(x^2+yz)$ lẻ nên điều này là vô lí. Vì vậy không thể đồng thời xảy ra cả ba đẳng thức trên

1.Cho x,y là các số không âm thay đổi thỏa mãn điều kiện x^2+y^2=1.  Tìm GTNN của P=$\sqrt{1+2x}$+$\sqrt{1+2y}$

2.Cho A= $\frac{$\sqrt{x}$-1}{$\sqrt{x}$-3}$. 

a, Tìm x để A>1

d, Tìm x nguyên để A là số nguyên

3.Tìm GTLN của B=$\frac{$\sqrt{x}$(1+x)}{$\sqrt{x}$+1}$

Bài 1

Từ ĐK , ta có $0 \leq x^2;y^2 \leq 1$

$<=> 0 \leq x,y \leq 1$

$=> x \geq x^2 , y \geq y^2$

$P^2 = 2(x+y) + 2 +2\sqrt{1+2(x+y)+4xy} \geq 2(x^2+y^2)+2+2\sqrt{1+2(x^2+y^2)} = 4 + 2\sqrt{3}$

$=> P \geq \sqrt{3} + 1$

Dấu "=" xảy ra chẳng hạn khi $x = 0, y = 1 $

Cho $x,y$ là hai số thực dương thoả mãn: $x^{2}+y^{2}=1$. Tìm $GTNN$ của: $$P=(1+x)(1+\frac{1}{y})+(1+y)(1+\frac{1}{x}).$$

$P = 2 + \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + x + \frac{1}{2x} + y + \frac{1}{2y} +\frac{1}{2}(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$

$\geq 2 + 2 + 2\sqrt{2} + \frac{2}{x+y} \geq + \geq 2 + 2 + 2\sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2(x^2+y^2)}} = 4 + 3\sqrt{2}$

Dấu"=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Cho số thực $x$ thay đổi thỏa mãn điều kiện $x^2+(3-x)^2 \geq 5$. Tìm GTNN của $A=x^4+(3-x)^4+6x^2(3-x)^2$

Đặt

$3-x = m , n = x^2+m^2 \geq 5$

$=> x+m = 3 => xm = \frac{9-(x^2+m^2)}{2} = \frac{9-n}{2}$

Ta có

$A = x^4 + m^4 + 6x^2m^2 = (x^2+m^2)^2 + 4x^2m^2 = n^2 + 4(\frac{9-n}{2})^2$

$= 2n^2 - 18n+81 = 2(n-5)^2+2(n-5)+41 \geq 41$

$=>$ Min $P$ là $41$ khi $x=1$ hoặc $x=2$