Tính giới hạn sau:
$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}(x^{x}-1)lnx$
- thuylinhnguyenthptthanhha yêu thích
Thất bại trong chuẩn bị cũng có nghĩa là chuẩn bị thất bại.
Họ cười tôi vì tôi khác họ
Tôi cười họ vì họ quá giống nhau
Những điều bạn đã biết đều bắt nguồn từ những điều bạn chưa biết
Những người thông minh là những người biết bị thần kinh đúng lúc
"Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn." - Issac Newton
God made the integers, and else is the work of man.
“Không phải tôi thông minh mà là tôi chịu bỏ nhìu thời gian hơn với những rắc rối’’–A.Einstein.
Gửi bởi quanguefa trong 12-10-2017 - 15:16
Gửi bởi quanguefa trong 30-12-2016 - 22:29
Cho ba số thực không âm a, b, c trong đó không có 2 nào cùng bằng không. CMR:
$\sum \frac{ab}{(a+b)^2}\leq \frac{1}{4}+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Bài này mình có xem qua lời giải theo đổi bien khá đep. Bạn nào giúp mình làm theo p,q,r hay SOS xem có được không? Vì mình đang làm quen 2 pp này.
Gửi bởi quanguefa trong 26-12-2016 - 21:06
Mình xin bổ sung cho topic một số bài toán BĐT mà việc đổi biến cho ta một lời giải rất đẹp! Và những kĩ thuật đổi biến này theo mình là khá lạ với một số bạn. (mình cũng chỉ lấy từ sách ra thôi =) )
Bài 9 [Vasile Cirtoaje]
CMR nếu a, b, c là những số thực không âm thì ta có:
$2(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq (a+1)(b+1)(c+1)(abc+1)$
Gợi ý: đặt $a=\frac{1-x}{1+x}$
Bài 10 [Vasile Cirtoaje]
Cho a, b, c là những số thực dương thoả mãn: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=13$
Tìm GTNN của biểu thức: $(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$
Gợi ý: đặt: $x=\sum \frac{a}{b};y=\sum \frac{b}{a}$. Chú ý mối liên hệ giữa x và y để đưa BĐT cần chứng minh về BĐT mới chỉ gồm 2 biến x, y.
Bài 11 [IMO 1983]
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. CMR: $a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geq 0$
Gợi ý: với những bài cho a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác ta thường dùng phép đổi biến $x=\frac{b+c-a}{2}$... Để đưa về BĐT với các số thực dương.
Bài 12 [Dự bị 30/4]
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. CMR: $\left | \sum \frac{a-b}{a+b} \right |< \frac{1}{16}$
Gợi ý: đổi biến tương tự như trên nhưng trước đó ta cần có một số biến đổi phù hợp.
Nếu không có bạn nào giải mình sẽ post lời giải lên sau =)
Gửi bởi quanguefa trong 21-12-2016 - 11:34
CHo a,b,c dương:
Thõa ab+bc+ac+2abc=1
Tìm Min: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-2(a+b+c)$
( Có ai giải dùm em bằng cách p,q,r với )
Đặt p, q, r. Dễ dàng đánh giá: $r\leq \frac{1}{8}$
Ta sẽ chứng minh: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-2(a+b+c)\geq 3$
Tức là: $\frac{q}{r}-2p\geq 3$
Từ gt có: $q=1-2r$
Suy ra BĐT cần chứng minh tương đương với: $(2p+5)r\leq 1$
Đánh giá: $q^2\geq 3pr\Rightarrow p\leq \frac{(1-2r)^2}{3r}$
Thay vào biến đổi tương đương là xong!
Gửi bởi quanguefa trong 07-12-2016 - 19:55
Cho $a$, $b$ là các số thực dương, $n$ là một số nguyên dương lẻ. Tìm giá trị nhỏ nhất của
\[S=\sum^{n}_{k=1} \left(-1\right)^{k+1} \left(\dfrac{a^k}{b^k}+\dfrac{b^k}{a^k}\right)\]
Ta có BĐT sau: $\frac{a^k}{b^k}+\frac{b^k}{a^k}\geq \frac{a^{k-1}}{b^{k-1}}+\frac{b^{k-1}}{a^{k-1}}\Leftrightarrow (a-b)(a^{2k-1}-b^{2k-1})\geq 0$
(BĐT luôn đúng vì $(a;b)$ và $(a^{2k-1};b^{2k-1})$ là 2 bộ cùng chiều)
Áp dụng BDT trên bằng cách ghép tương ứng các cặp k chẵn-lẻ (2 với 3, 4 với 5,... , n-1 với n). Ta được:
$S=\sum^{n}_{k=1} \left(-1\right)^{k+1} \left(\dfrac{a^k}{b^k}+\dfrac{b^k}{a^k}\right)\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$
Đẳng thức xảy ra khi a=b
Gửi bởi quanguefa trong 07-12-2016 - 19:31
Ta có: $\prod (a^2+b^2)=\sum a^2.\sum a^2b^2-a^2b^2c^2=(p^2-2q)(q^2-2pr)-r^2=(1-2q)(q^2-2r)-r^2$
Ta cần chứng minh: $S=r^2+2r(1-2q)+2q^3-q^2+\frac{1}{32}\geq 0$
Dễ có: $0<q\leq \frac{1}{3}$
Đến đây xét 2 trường hợp:
TH1: $0<q<\frac{1}{4}$
Vì $r\geq 0$ nên: $S\geq 2q^3-q^2+\frac{1}{32}\geq 0$
TH2: $\frac{1}{4}\leq q\leq \frac{1}{3}$
Theo Schur bậc 1: $r\geq \frac{4pq-p^3}{9}=\frac{4q-1}{9}\Rightarrow r^2\geq \frac{(4q-1)^2}{81}$
Tới đây thế vào biểu thức S, đưa về hàm với biến q. Biến đổi tương đương hoặc tính đạo hàm (hàm đồng biến) là xong!
Gửi bởi quanguefa trong 02-12-2016 - 22:52
Cho $c>\frac{1}{4}$. Tìm đa thức Q(x) sao cho: $(x ^2-x+c).Q(x)>0$ là đa thức với các hệ số đều dương.
Gửi bởi quanguefa trong 30-11-2016 - 07:51
Giải bất phương trình:
$3^{2(x^2-1)}-36.3^{x-3}+3\geq 0$
Ta sẽ chứng minh BPT đúng với mọi x bằng cách khảo sát hàm: $f(x)=3^{2(x^2-1)}-36.3^{x-3}+3$
Ta có: $f'(x)=3^{2(x^2-1)}.ln3.4x-36.3^{x-3}.ln3$
$f'(x)=0\Leftrightarrow 3^{2(x^2-1)}.x=3^{x-1}\Leftrightarrow 3^{(2x+1)(x-1)}.x=1$ (1)
Xét hàm: $g(x)=3^{(2x+1)(x-1)}.x$
Có: $g'(x)=3^{(2x+1)(x-1)}(4ln3.x^2-ln3.x+1)>0$
g(x) đồng biến suy ra PT(1) có x=1 là nghiệm duy nhất. Từ đó ta cũng chứng minh được là với x>1 thì $f'(x)>0$, x<1 thì $f'(x)<0$
Lập BBT suy ra: $minf(x)=f(1)=0$, từ đó kết luận BPT đúng với mọi x thuộc R
Gửi bởi quanguefa trong 29-11-2016 - 22:17
Cho a, b, c >= 0 nhưng không có 2 số nào đồng thời bằng 0. CMR: $\sum \frac{a}{a+\sqrt{a^2+3bc}}\leq 1$
Gửi bởi quanguefa trong 28-11-2016 - 20:58
Cho a,b,c>0;a+b+c=1
C/m:$\frac{13}{4}\left ( ab+bc+ca \right )\leq 1+4abc\left ( \sum \frac{a}{\left ( a+1 \right )^{2}} \right )$
Ta có: $\sum \frac{a}{(a+1)^2}=\sum \frac{a^2}{a^3+2a^2+a}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum a^3+2\sum a^2+\sum a}=\frac{1}{\sum a^3+2\sum a^2+1}$
Đăt p, q, r với p=1. Quy về chứng minh: $\frac{4r}{3r-7q+4}+1\geq \frac{13}{4}q\Leftrightarrow r(28-39q)+91q^2-80q+16\geq 0$
Dễ có: $0<q\leq \frac{1}{3}$
Theo Schur bậc 1: $r\geq \frac{4pq-p^3}{9}=\frac{4q-1}{9}$
Có: $\frac{4q-1}{9}.(28-39q)+91q^2-80q+16\geq 0\Leftrightarrow (3q-1)(221q-116)\geq 0$
BĐT cuối đúng suy ra đpcm
Gửi bởi quanguefa trong 26-11-2016 - 21:23
Gửi bởi quanguefa trong 03-11-2016 - 15:01
Bài 7:
Chia tập S thành 3 tập con S1, S2, S3, với:
S1={1;4;7;...;2014}
- S1 gồm 672 số tự nhiên cùng đồng dư 1 trong phép chia cho 3
S2={2;5;8;...;2015}
- S2 gồm 672 số tự nhiên cùng đồng dư -1 trong phép chia cho 3
S3={3;6;9;...;2016}
- S3 gồm 672 số tự nhiên chia hết cho 3
Ta có: S1, S2, S3 không giao nhau và $S=S1\cup S2\cup S3$
Tập con A thỏa mãn đề bài được thành lập bằng cách chọn x phần tử của tập S1, y phần tử của tập S2 và z phần tử của tập S3
Theo đề ta có:
$\left\{\begin{matrix} x,y,z\epsilon [0;6] & \\ x+y+z=6 & \\ (x-z)\vdots 3 & \end{matrix}\right.$
$(x-z)\vdots 3\Rightarrow (x-z)=-6;-3;0;3;6$
Giải ra ta được: $(x;y;z)=(6;0;0), (0;0;6) (4;1;1), (1;1;4), (3;3;0) (0;3;3), (0;6;0), (1;4;1), (2;2;2), (3;0;3)$
Xét trường hợp: $(x;y;z)=(6;0;0)$. Khi đó số cách chọn tập A thỏa mãn là: 672C6.672C0.672C0=672C6
Các trường hợp còn lại tương tự, từ đó suy ra số tập A thỏa mãn...
Gửi bởi quanguefa trong 03-11-2016 - 14:42
Gửi bởi quanguefa trong 26-10-2016 - 12:22
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học