ineX

Ai giúp mình bài này với!

Cho: $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn:

$$f((x+1)f(y))=y.f(1+f(x))$$

a, Chứng minh rằng nếu tồn tại $a$ khác $0$ để $f(a)\neq 0$ thì $f$ là song ánh

b, Tìm tất cả các hàm f

ai giúp mình bài toán này với

Bài này là bài mà Thày Lê Bá Khánh Trình được giải thưởng đặc biệt cho lời giải độc đáo.

bài toán này mình lấy ở một đề dự bị Duyên hải của trường CBG. Nhưng mà trong lời giải trình bày quá khó hiểu và cũng không có hình nên không hiểu!

Bạn nào vẽ giúp mình cái hình vào được không?

Cho tam giác $ABC$ với $H$ là trực tâm tam giác, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp và $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp.

$D,E,F$ là điểm đối xứng của $A,B,C$ qua $BC,CA,AB$.

Chứng minh $D,E,F$ thẳng hàng khi và chỉ khi $OH=2R$.

Giải phương trình trên tập số thực:

$$8x(2x^{2}-1)(8x^{4}-8x^{2}+1)=1$$

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $\sum \frac{1}{1+x^{4}}=1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $xyz$.

Theo mình thấy như vậy là dở. Mình thấy các bài thi trắc nghiệm ít thể hiện sự thông minh sáng tạo hơn mà thiên về những kĩ năng cần học thuộc.

 

GIống như môn Lý Hóa thi trắc nghiệm nên có nhan nhản những cách làm "30 giây".

Cho bốn số thực $a,b,c$ và $d$ thuộc đoạn từ $\frac{1}{2}$ đến $\frac{2}{3}$

Tìm giá trị lớn nhất của: $$T=16\left ( \frac{a+c}{a+d} \right )^{2}+25\left ( \frac{c+d}{a+b} \right )^{2}$$

TUYỂN TẬP MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KÌ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH, THÀNH PHỐ

(Phần I)

 

 

Đây là topic tổng hợp một số bài hình học không gian trong các kì thi học sinh giỏi tỉnh, thành phố vòng 1. Mong các bạn tham gia giải bài để xây dựng topic.

 

 

 

Bài 1: Cho hình tứ diện ABCD có ba mặt (ABC),(ACD),(ADB) vuông tại A. M là một điểm trong tam giác BCD. Gọi $\alpha,\beta,\gamma$ lần lượt là góc giữa AM và các mặt phẳng (ABC),(ACD),(ADB). Chứng minh rằng: $sin^{2}\alpha+sin^{2}\beta+sin^{2}\gamma =1$

 

Bài 2: Cho tứ diện ABC$ có AB,AC,AD vuông góc với nhau đôi một. Chứng minh rằng: Nếu mặt phẳng (BCD) hợp với các mặt phẳng (ABC,(ABD),(ACD) các góc lần lượt là $\alpha,\beta,\gamma$ thì ta có $cos^{2}\alpha+cos^{2}\beta+cos^{2}\gamma =1$

 

Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có ABCD là hình vuông cạnh $a$. $AA'=2a$. E,F lần lượt là trung điểm B'C',C'D'. Tình diện tích thiết diện tạo thành do mặt (AEF) cắt hộp đã cho.

 

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có khoảng cách từ A dến BD là $h$. Trên tia $Ax,Cy$ cùng vuông góc với ABCD và cùng chiều, ta lần lượt lấy hai điểm $M,N$. Đặt $x=AM,y=CN$. Chứng minh rằng: Điều kiện Cần và Đủ để hai mặt (BDM),(BDN) vuông góc là $xy=h^{2}$.

 

Bài 5:Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' đáy là tam giác cân tại A. Góc giữa hai đường AA',BC' là $30$ và khoảng cách giữa chúng là $a$. Góc giữa hai mặt chứa hai mặt bên AA' là $60$. Tính thể tích khối $ABC.A'B'C'$.

 

Bài 6: Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C'. Tam giác ABC' có diện tích là $Q\sqrt{3}$ và hợp với mặt đáy một góc $\alpha \in \left ( 0,\frac{\prod  }{2} \right)$.

a, Tính $V_{ABC.A'B'C'}$ theo $Q,\alpha$.

b, Cho $Q=const$, $\alpha$ thay đổi. Tính $\alpha$ để V max.

 

Bài 7: Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C'. Mặt (A'BC) cách A một khoảng bằng $\frac{a\sqrt{3}}{4}$ và hợp BC' một góc $\alpha$ biết $sin\alpha=\frac{\sqrt15}{10}$. Tính thể tích lăng trụ trên.

 

Bài 8: Cho tứ diện ABCD và IJ là đoạn vuông góc chung của AB,CD (I trên AB, J trên CD. $\alpha$ là góc của AB,CD. Chứng minh: thể tích tứ diện ABCD là $\frac{1}{6}AB.CD.IJ.sin\alpha$.

 

Bài 9:  Cho tứ diện ABCD. Tìm M trong không gian để $MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}+MD^{2}$ đạt min.

 

Bài 10. Trên đáy ABC của tứ diện OABC lấy điểm M. Các đường song song với các cạnh OA,OB,OC đi qua M, cắt mặt (OBC),(OCA),(OAB) lần lượt tại A',B',C'. Chứng minh rằng: $$\frac{MA'}{OA}+\frac{MB'}{OB}+\frac{MC'}{OC}=1$$

 

Bài 11: Cho M là một điểm nằm trong tứ diện ABCD. Các đường MA,MB,MC,MD cắt các mặt đối diện tại A',B',C',D'. Chứng minh rằng: $$\frac{MA'}{AA'}+\frac{MB'}{BB'}+\frac{MC'}{CC'}=1$$

 

Bài 12: Cho tứ diện ABCD đáy là tam giác BCD cân ở D, $BC=a$ và góc $BDC=2\alpha$. Biết các cạnh bên nghiêng đều với đáy  một góc $\beta$. Chân đường cao H vẽ từ đỉnh A xuống (BCD) thuộc miền trong tam giác BCD. Tính thể tích của tứ diện theo $a,\alpha,\beta$.

 

Bài 13: Cho góc tam diện Oxyz và điểm M cố định trong góc đó. Mặt (P) lưu động qua M cắt Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C. Tìm vị trí của (P) để diện tích tứ diện OABC nhỏ nhất.

 

Bài 14: Cho chóp S.ABC có $SA=x,BC=y$, các cạnh còn lại bằng 1. Tính thể tích chóp theo $x,y$.

 

Bài 15: Cho tứ diện ABCD có $AD=BC=a$, $AC=BD=b$, $AB=CD=c$. Tính thể tích tứ diện theo $x,y$.

Bài toán: Cho tứ diện Cho tứ diện $O.ABC$ có các cạnh $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc ở $O$.

Chứng minh: $$S_{OAB}^{2}+S_{OBC}^{2}+S_{OCA}^{2}=S_{ABC}^{2}$$

 

Bài toán gốc: Cho tứ diện $O.ABC$ có các cạnh $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc ở $O$. Các góc $\alpha \beta \gamma $ lần lượt là các góc tạo bởi mặt phẳng $(OAB),(OBC),(OCA)$ với mặt phẳng $(ABC)$. Chứng minh: $$cos^{2}\alpha+ cos^{2}\beta+ cos^{2}\gamma =1$$

Bài toán: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. $AA'=2a$. $E,F$ lần lượt là trung điểm của $B'C', C'D'$. 

Tính diện tích thiết diện tạo thành do mặt phẳng $(AEF)$ cắt hình hộp chữ nhật đã cho.

Tìm tất cả các hàm: $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $$f(x+f(y))=f(x+y)+f(y)$$

 

(Bài này mình nghe lỏm đề, hai bạn nào đó giải, mình lấy đề về nhưng chưa giải ra)

TRƯỜNG HÈ TOÁN HỌC MIỀN BẮC 2016

Nguồn: Thầy Trần Mạnh Sang- THPT Chuyên Lê Hồng Phong

 

Bài 1: 

Cho 2016 tập hợp, mỗi tập có 45 phần tử, hai tập bất kì có đúng một phần tử chung. Chứng minh rằng tồn tại 1 phần tử thuộc tất cả các tập.

 

Bài 2:

Cho tập $X$ hữu hạn phần tử. Các tập $A_{1},A_{2},...A_{50}$ là các tập con của $X$, mỗi tập có nhiều hơn một nửa số phần tử của $X$

Chứng minh: 

a, Tồn tại phần tử $a$ thuộc ít nhất 26 tập con đã cho.

b, Tồn tại $A\subset X$ thỏa mãn $\left | A \right |\leq 5$ mà $A\cap A_{i}\neq \oslash (i=\overline{1,50})$

 

Bài 3: Có bao nhiêu số nguyên dương không vượt quá 2016 thỏa mãn số đó chia hết cho 3 hoặc 4 nhưng không chia hết cho 5.

 

Bài 4: Cho S= \left \{ 1,2,...,2014 \right \} 

Cần phải bỏ đi ít nhất bao nhiêu phần tử của $S$ để tập còn lại thỏa mãn không phần tử nào bằng tích hai phần tử khác.

 

Bài 5: Tìm tất cả các tập hữu hạn $A\subset \mathbb{N}$  và $B\subset \mathbb{N}$ thỏa mãn $A\subset \mathbb{B}$ và $\sum x_{b}=\sum x_{a}^{2}$

 

Bài 6: Cho tập $S$ thỏa mãn 

+> Mỗi phần tử của $S$ là một dãy có 15 kí tự, chỉ sử dụng $a,b$

+> Hai phần tử trong $S$ được gọi là khác nhau nếu chúng khác nhau ở ít nhất ba phần tử 

CMR: $\left |S  \right |\leq 2^{11}$

 

Bài 7: Cho tập $S$ có 2008 phần tử và $S_{1},S_{2},...S_{50}$ là tập con của $S$ thỏa mãn

+> $\left | S_{1} \right |=100 (i=\overline{1,50})$

+> $S_{1}\cup S_{2}\cup ....\cup S_{i}=S$

CMR: tập $S_{i}, S_{j}$ $i$ khác $j$ thỏa $\left | S_{1}\cap S_{j} \right |\leq 3$

 

Bài 8: Cho $n,k\in N$ và $S=\left \{ 1,2,...,n \right \}$ 

$A_{1},A_{2},.....A_{k}$ là các tập con của $S$ thỏa:

+> $\left | A_{i} \right |\geq \frac{n}{2}\left ( i=\overline{1,k} \right )$

+> $\left | A_{i}\cap A_{j} \right |\leq \frac{n}{4}(i\neq j)$

CMR: $\left | A_{1}\cup A_{2}....\cup A_{k} \right |\geq \frac{k}{k+1}$

 

Bài 9: Cho số tự nhiên dương $n$ nhỏ hơn $2014$ 

Tập $A=\left \{ a_{1},a_{2},...,a_{n} \right \}$ là tập con của $S= \left \{ 1,2,3,...,2014 \right \}$ thỏa nếu $a_{i}\neq a_{j}\leq 2014(i\leq i\leq j\leq n)$ thì $a_{i}+a_{j}\in A$

Chứng minh: $\frac{a_{1}+a_{2}+.....+a^{n}}{n}\geq \frac{2015}{2}$

 

Bài 10: Cho $S$ có 2016 phần tử. Tìm số bộ sắp thứ tự $(S_{1},S_{2},....,S_{n})$ với $S_{i}$ là tập con của $S$ thỏa $S_{1}\cap S_{2}\cap S_{3}\cap ....S_{2015}\neq \oslash $

 

Bài 11: Cho $S$ là tập các số nguyên dương nhỏ hơn $15$ thỏa không có hai tập con rời nhau của $S$ có tổng các phần tử bằng nhau. 

a, Chứng minh: số phần tử của $S$ không quá 5

b, Tìm tổng lớn nhất của số các phần tử của $S$

 

Bài 12: Cho $S\subset A= \left \{ 1,2,3,...n \right \}$n với $n$ nguyên dương. Tạo ra tập mới theo các luật sau: 

+> Nếu $1\notin S$ thì thêm $1$ vào $S$

+> Nếu $n\in S$ thì bỏ $n$

+> Với $1\leq t< n,t\in S,t+1\notin S$ thì bỏ $t$ thêm $t+1$

Ta bắt đầu từ tập rỗng.

Chứng minh $n= 2^{m}=1$ với m nguyên dương.

 

Bài 13: Cho các số nguyên dương $m,n$ không nhỏ hơn 2 thảo $S$ là tập có $n$ phần tử. $A_{1},A_{2},...,A_{m}$ là các tập con của $S$ mà mỗi tập có ít nhất 2 phần tử và thỏa mãn nếu $A_{i}\cap A_{j}\neq \oslash$, $A_{i}\cap A_{k}\neq \oslash$, $A_{j}\cap A_{k}\neq \oslash$ thì $A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}\neq \oslash$

Chứng minh: $m\leq 2^{n-1}-1$

 

Bài 14: Có tồn tại hay không một tập có 2010 số nguyên dương thỏa mãn nếu bỏ bất kỳ một phần tử nào của tập này thì tập còn lại có thể chia thành hai tập mà tổng các phần tử trong mỗi tập này bằng nhau?

 

P/s: Chuyên đề này được thầy hoàn thành trong 6 giờ làm việc, và đây là những bài đã giải quyết xong trên lớp, mình gõ lên để cho các bạn không có điều kiện tham gia trường hè giải thử. Các bài tập ở đây về độ khó khá đa dạng, từ khá dễ đến khó, được thầy sưu tầm lại, minh đã xin phép thầy để đăng lên đây.

Mong các bạn ở trường hè các miền khác có thể chia sẻ các bài tập của các bạn để có thể trao đổi!

Mong các bạn tham gia giải quyết hết các bài tập trên.

mình thì thấy dân mình học tốt nhất là bđt và hình. phải nói là siêu. chắc bởi vì bđt và hình đã được đưa vào trong các đề thi từ cơ bản nhất là thi học kì đến thi đại học, thi hsg, bđt vẫn là câu hay.

còn tổ hợp thì ít thấy và ít làm hơn, chỉ những người đi sâu vào toán mới học chứ học sinh bình thường như mình thì chả mấy khi