Namvip

Bài 73 : Lời giải khác 

Ta có 

$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\geq \frac{\left ( \sum \sqrt{a^{2}+b^{2}} \right )^{2}}{2(a+b+c)}$

Lại có 

$(\sum \sqrt{a^{2}+b^{2}})^{2}=2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\sum 2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(a^{2}+c^{2})}\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2\sum (a^{2}+bc)=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+(a+b+c)^{2}$

mà 

$3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+(a+b+c)^{2}\geq 2(a+b+c)\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

=>$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\geq \frac{2(a+b+c)\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}{2(a+b+c)}=\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

ĐK: $-1 \leq x \leq 4$

 

Đặt $\sqrt{4-x}=a; \ \sqrt{x+1}=b$

 

Thay vào ta có:

 

$\dfrac{33}{5}a^2-\dfrac{2}{5}b^2+ab-11a+2b=0$

 

$\iff (11a-2b)(3a+b-5)=0$

 

Đến đây thay $a,b$ và thực hiện bình phương 2 lần

Bài này biết hướng làm rùi chỉ khó đoạn tách 

Có cách nào để tìm ra nhân tử mà ko cần dùng CASIO ko hả cậu hay là tự phải mò nhỉ 

.

Bài 71 :

Ta có 

$\sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}.1.1}\leq \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{9}+\frac{2}{3}$

$8\sqrt[3]{abc.1.1}\leq 8(\frac{abc+2}{3})=\frac{8abc}{3}+\frac{16}{3}$

Lại có 

BĐT Phụ sau $a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc\leq (a+b+c)^{3}$

=>$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc}{9}\leq \frac{(a+b+c)^{3}}{9}=3$

=>$\sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}}+8\sqrt[3]{abc}\leq 9$

Giả sử $a\geq b\geq c$

Ta có

$\sum\frac{a^2}{b+c}=\sum\frac{1}{b+c}-\sum\frac{b^2+c^2}{b+c}$

Áp dụng bđt Chebyshev có

$\sum\frac{b^2+c^2}{b+c}\leq\frac{1}{3}(\sum a^2)(\sum\frac{1}{b+c})=\frac{1}{3}\sum\frac{1}{b+c}$

Do đó

$\sum\frac{a^2}{b+c}\geq\sum\frac{1}{b+c}-\frac{1}{2}\sum\frac{1}{b+c}=\frac{2}{3}\sum\frac{1}{b+c}\geq\frac{3}{\sum a}\geq\sqrt{3}$

Vậy ...

 

__________________________

 

P/s: Sai từ bước đầu

Ủa sao chú đăng nhanh vậy mà anh ko nhìn thấy nhỉ