lenhatsinh3

NGUỒN: Tạp chí Olympic- FB

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Ngày thi: 22-10-2016

Câu 1: 

  1. Giải hệ phương trình với $x\geq 0$

                                      $\left\{\begin{matrix} 2x-2y+\sqrt{2x+y+2xy+1}=1 & & \\ \sqrt[3]{3y+1}=8x^{3}-4x-1& & \end{matrix}\right.$

  2.Cho $a,b,c> 0, abc=1$ tìm giá trị nhỏ nhất của

                                      $\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}$

Câu 2. Một nhóm gồm $6$ học sinh làm  kiểm tra trong 2 ngày. Ngày thứ nhất, giáo viên phát $6$ đề khác nhau cho $6$ học sinh. Ngày thứ 2, giáo viên phát $6$ đề đó cho $6$ học sinh sao cho không học sinh nào nhận trùng với đề được phát ngày hôm trước. Hỏi có bao nhiêu cách phát như thế trong cả hai ngày.

Câu 3.

  1. Cho dãy số $(u_{n})$ thỏa mãn

                                        $\left\{\begin{matrix} u_{1}=\sqrt{2} & & \\ u_{n+1}=\frac{1+u_{n}}{1-u_{n}}, n\in \mathbb{N}^{*}& & \end{matrix}\right.$

                                       Tính $S_{2016}=u_{1}+u_{2}+...+u_{2016}$

  2. Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn 

                                         $f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1,\forall x,y\in \mathbb{R}$

   Tìm $f(n)$, $\forall n\in \mathbb{N}$

Câu 4. 

  Cho 2 đường tròn $(O), (O')$ cắt nhau tại $A,B$. trên tia $BA$ lấy $M$ ($M$ nằm ngoài $(O')$). Từ $M$  Kẻ 2 tiếp tuyến $MC, MD$ của $(O')$ ($C,D$ là 2 tiếp điểm). $AC,AD$ lần lượt cắt $(O)$ tại $P,Q$.

  a. Chứng minh $\frac{DA}{DQ}=\frac{CA}{CQ}$.

  b. Chứng minh $C$  đi qua trung điểm $PQ$

  c. Chứng minh $CD$ đi qua một điểm cố định khi $M$ di chuyển trên  tia $BA$.

Vd4.14 trang 77 sai chỗ $199\equiv 8(mod11)$

Câu 5.a)

 Ta có kết quả quen thuộc $O$ là trực tâm $\Delta GEF$$\Rightarrow OI\perp EF$. (có thể dùng hàng điểm điều hòa để chứng minh)

Gọi $K=(GAB)\cap (GCD)$ ta chứng minh $\widehat{EKO}$$=90^{\circ}$. Ta có $OKAD$ là tứ giác nội tiếp $(\widehat{AKD}=\widehat{AOD}=sdCD )$

$\widehat{EKO}=\widehat{AKO}-\widehat{AKG}=\widehat{ADO}-\widehat{ABD}=90^{\circ}$.Do đó $O,K,F$ thẳng hàng. ta còn có $E,G,K$ thẳng hàng.

$IGKF$ nội tiếp $\Rightarrow EA.EB=EG.EK=EI.EF\Rightarrow IFBA$ nội tiếp$\Rightarrow BIEC$ nội tiếp.

Từ đây dễ suy ra được $DFIC$ nội tiếp.

$\widehat{BID}=180^{\circ}-\widehat{FIB}-\widehat{EID}=180^{\circ}-2\widehat{C}=180-\widehat{BOD}$$\Rightarrow BODI$ nội tiếp.

 Câu b thì chưa chém được

em đã nộp tiền rồi ạ

 Lời-giả3 (1).pdf   902.24K   650 Số lần tải

NGÀY 2

Bài 4. Một tập hợp  các số nguyên dương được gọi là tập hương nếu tập hợp đó có ít nhất 2 phần tử và mỗi phần tử của nó đều có ước nguyên tố chung với ít nhất một trong các phần tử còn lại . Đặt $P(n)=n^{2}+n+1$. Hãy tìm số nguyên dương $b$ nhỏ nhất sao cho tồn tại số không âm $a$  để tập hợp  $\left \{ P(a+1);P(a+2);...;P(a+b) \right \}$ là tập hương.

Bài 5. Người ta viết lên bảng phương trình:

$(x-1)(x-2)(x-3)...(x-2016)=(x-1)(x-2)(x-3)...(x-2016)$

với 2016 nhân tử bậc nhất ở mỗi vế. Hãy tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất để có thể xóa đi $k$ nhân tử trong số 4032 nhân tử nêu trên sao cho mỗi vế còn ít nhất một nhân tử và phương trình thu được không có nghiệm thực.

Bài 6. Trong mặt phẳng, cho $n\geq 2$ đoạn thẳng sao cho 2 đoạn thẳng bất kì cắt nhau tại một điểm nằm trên mỗi đoạn và không có ba đoạn thẳng nào đồng quy.Với mỗi đoạn thẳng thầy Minh chọn một đầu mút của nó rồi đặt lên đó một con ếch sao cho mặt con ếch hướng về đầu mút còn lại. Sau đó thầy vỗ tay $n-1$ lần. Mỗi lần vỗ tay con ếch ngay lập tức nhảy đến giao điểm gần nhất trên đoạn thẳng của nó. Tất cả những con ếch đều không thay đổi  hướng nhảy của mình trong toàn bộ quá trình nhảy. Thầy Minh muốn đặt các con ếch sao cho sau mỗi lần vỗ tay không có hai con nào nhảy đến cùng một điểm.

(a). Chứng minh rằng thầy Minh luôn thực hiện được ý định của mình nếu $n$ là số lẻ.

(b).  Chứng minh rằng thầy Minh không thể thực hiện được ý định của mình nếu nếu $n$ là số chẵn.

 

IMO.png

 

IMO 2016

 

Ngày 11-07-2016

 

 

Bài 1. Tam giác $BCF$ vuông tại $B.A$ là một điểm trên đường thẳng $CF$ sao cho $FA=FB,F$ nằm giữa $A$ và $C$. Chọn điểm $D$ sao cho $DA=DC$ và $AC$ là phân giác của $\angle DAB$. Chọn điểm $E$ sao cho $EA=ED$ và $AD$ là phân giác của $\angle EAC$. $M$ là trung điểm $CF$. $X$ là điểm thỏa mãn $AMXE$ là hình bình hành. Chứng minh rằng $BD$, $FX$ và $ME$ đồng quy.

 

 

 

 

Cho 2 số thực $x,y$ với $y> -1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của 

$P=\frac{\sqrt{\frac{x^{4}}{2}+\frac{y^{4}}{2}-4y+5}+\sqrt{\frac{x^{4}}{2}+\frac{y^{4}}{2}+8y^{2}-4x-12y+9}}{y+1}$

Mong năm nay diễn đàn toán học sẽ có nhiều thủ khoa

Nhìn thì đơn giản nhưng dựng hình là mọt vấn đề không đơn giản tí nào

$P^{2}=(x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1})^{2}\leq 2(x^{2}(y+1)+y^{2}(x+1))=2+2xy(x+y)\leq 2+2\left | xy(x+y) \right |$

           $\leq 2+(x^{2}+y^{2})\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}=3+\sqrt{2}$$\Leftrightarrow -\sqrt{3+\sqrt{2}}\leq P\leq \sqrt{3+\sqrt{2}}$

Vì $x=0$ không là nghiệm của pt bậc 4, nên chia 2 vế pt cho $x^{2}$. Phương trình trở thành

$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+a(x-\frac{1}{x})+b-2=0\Leftrightarrow (x-\frac{1}{x})^{2}+a(x-\frac{1}{x})+b=0$

Đặt $t=(x-\frac{1}{x})$, pt trở thành $t^{2}+at+b=0$$\Rightarrow$ phương trình có 2 ngiệm phân biệt

Nhận thấy pt $x-\frac{1}{x}=\alpha \Leftrightarrow x^{2}-\alpha x-1=0$ luôn có 2 nghiệm phân biệt$\Rightarrow$đpcm

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\Leftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ac)=abc\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(a+c)=a^{3}+b^{3}+c^{3} & & \\ (ab+ac+bc)^{3}=a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3}+3abc(a+b)(b+c)(a+c)=a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3} & & \end{matrix}\right.$

$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{a^{2}b^{2}c^{2}}=\frac{(a+b+c)(ab+ac+bc)}{a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+a^{3}c^{3}}$

$\Leftrightarrow (a^{3}+b^{3}+c^{3})(a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+a^{3}c^{3})=a^{2}b^{2}c^{2}((a+b+c)(ab+ac+bc))$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^{3}(ab+bc+ac)^{3}=a^{3}b^{3}c^{3}(Đ)$