Đến nội dung


Baoriven

Đăng ký: 10-10-2015
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 22:26
****-

#668300 $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}...

Gửi bởi Baoriven trong 14-01-2017 - 20:03

Tìm tất cả các hàm số: $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ thỏa mãn:

$f(f(x))=6x-f(x)$




#668295 Kỳ thi HSG tỉnh12 - Đồng Nai

Gửi bởi Baoriven trong 14-01-2017 - 18:57

Bài 2: 

Điều kiện: $x\geq -2;y\geq \frac{-1}{2}$.

Viết lại pt $(1)$ như sau: $(x+1)(x+2)+\sqrt{x+2}=2y(2y+1)+\sqrt{2y+1}$.

Xét $f(t)=t.(t+1)+\sqrt{t+1}.$

Ta có: $f'(t)=2t+1+\frac{1}{2\sqrt{t+1}}> 0$.

Nên ta được: $x=2y-1.$

Thế vào pt $(2)$ giải tiếp là được. 




#668168 Tìm tất cả các số nguyên x,y,z sao cho $2014^{x}+2015^{y...

Gửi bởi Baoriven trong 13-01-2017 - 19:06

Nhận thấy ngay $z> 0$.

Do đó $VP\vdots 2$ mà $2015^y$ luôn lẻ. 

Nên chỉ xảy ra duy nhất $1$ trường hợp: $x=0;y=1$ là thỏa mãn.




#668036 cho a,b,c>0 chứng minh $\frac{a}{3a+b+2c}+...

Gửi bởi Baoriven trong 12-01-2017 - 09:28

Theo BĐT $Cauchy-Schwarz$, ta có: $\frac{a}{2a+(a+c)+(b+c)}\leq \frac{a}{9}(\frac{1}{2a}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c})$.

Tương tự, với 2 BĐT còn lại ta có:

$LHS\leq \frac{1}{18}.3+\frac{1}{9}.3=\frac{1}{2}$.

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$.




#668021 $ a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2 \leq 3$

Gửi bởi Baoriven trong 11-01-2017 - 22:28

Bài 2:

Điều kiện: $x,y\geq 0.$

Ta có: $6=x+6\sqrt{xy}-y\leqslant x-y+3x+3y=4x+2y\Leftrightarrow 2x+y\geqslant 3$.

Biến đổi tương đương ta có:

$LHS(2)\geq 2x+y\geqslant 3\Leftrightarrow 3(x^3+y^3)\geqslant (x^2+xy+y^2)\sqrt{2(x^2+y^2)}\Rightarrow \boldsymbol{True}$

Vậy $x=y=1$.




#668006 Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:

Gửi bởi Baoriven trong 11-01-2017 - 20:43

Ta có: $\frac{bc}{(a+b)+(a+c)}\leq \frac{bc}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})$.

Tương tự, suy ra:

$\frac{bc}{2a+b+c}+\frac{ca}{a+2b+c}+\frac{ab}{a+b+2c} \leq \frac{1}{4}(\frac{bc+ca}{a+b}+\frac{bc+ab}{a+c}+\frac{ca+ab}{b+c})$.

Ta có đpcm. 

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c> 0$.




#667995 Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn:

Gửi bởi Baoriven trong 11-01-2017 - 19:49

Áp dúng BĐT $Cauchy-Schwarz$, ta có:

$(b+c+1)(b+c+a^2)\geq (b+c+a)^2\Leftrightarrow \frac{1}{b+c+1}\leq \frac{b+c+a^2}{((a+b+c)^2}.$

Thực hiện $2$ bđt tương tự, rồi cộng theo vế ta được:

$\frac{2(a+b+c)+a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}\geq \frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}+\frac{1}{a+b+1} \geq 1.$

Từ đó ta có đpcm. 

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1.$




#667771 Chứng minh rằng $\sqrt{x+y+z} \geqslant \sqrt...

Gửi bởi Baoriven trong 09-01-2017 - 19:54

Áp dụng $Cauchy-Schwarz$ ta có:

$(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1})^2=(\sqrt{a}\sqrt{\frac{a-1}{a}}+\sqrt{b}\sqrt{\frac{b-1}{b}}+\sqrt{c}\sqrt{\frac{c-1}{c}})^2$.

$\leq (a+b+c)(\frac{a-1}{a}+\frac{b-1}{b}+\frac{c-1}{c})=(a+b+c)[3-( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})]=a+b+c$.

Vậy ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{3}{2}$.




#667674 $\boxed{Topic}$ ÔN THI VÀO THPT CHUYÊN TOÁN NĂM HỌC...

Gửi bởi Baoriven trong 08-01-2017 - 21:36

Lời giải bài 12:

Điều kiện: $x\neq 0; y\neq 0; x\neq \pm y$.

$(1)\Leftrightarrow 4xy(x^4-y^4)=121x-122y.$                                    $(3)$

$(2)\Leftrightarrow (x^4+14x^2y^2+y^4)(x^2+y^2)=122x+121y.$       $(4)$

Lần lượt nhân $(3)$ và $(4)$ cho $(x+y),(x-y)$, ta được:

$4xy(x^4-y^4)(x+y)=(121x-122y)(x+y).$                                             $(5)$

$(x^4+14x^2y^2+y^4)(x^2+y^2)(x-y)=(122x+121y)(x-y).$                  $(6)$

Chú ý rằng: 

$(122x+121y)(x-y)-(121x-122y)(x+y)=x^2+y^2.$

Do đó lấy $(6)-(5)$, ta được:

$...\Leftrightarrow (x-y)^5=1\Leftrightarrow x-y=1.$

Đặt $t=x+y.$ Khi đó:

$x^2-y^2=t.$

$x^2+y^2=\frac{t^2+1}{2}.$

$4xy=t^2-1$ và $y=\frac{t-1}{2}$.

$121x-122y=\frac{243-t}{2}.$

Thay vào $(3)$ ta được $t=3.$

Từ đó ta giải hệ: $\left\{\begin{matrix}x+y=3 \\ x-y=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=2 \\ y=1 \end{matrix}\right.$.




#667562 $\boxed{Topic}$ ÔN THI VÀO THPT CHUYÊN TOÁN NĂM HỌC...

Gửi bởi Baoriven trong 08-01-2017 - 08:31

Lời giải bài 11: (Cảm ơn tpdtthltvp)

Từ pt $(1)$ ta có: $(y-2)(y^2+2y+2)=(x-1)(x^2+x+1)$. $(*)$

Thế $x^3=y^3-7$ vào pt $(2)$, ta được:

$y^3-y^2-4=1-x\Leftrightarrow (y-2)(y^2+y+2)=1-x$. $(**)$

Nếu $x\geq 1$ thì từ $(*)\Rightarrow y\geq 2,(**)\Rightarrow x\leq 1$.

Nên $x=1$, $y=2$.

Tương tự trường hợp còn lại.

 

P/S: Cách của tay du ki không sai nhưng cần tránh cách này trong các đề thi. (Trường hợp bế tắc quá hãy xài!!!).




#667422 CMR: $(ab+bc+ca)(a+b+c)^3+48(ab+bc+ca)abc-25abc(a+b+c)^2\geq 0$

Gửi bởi Baoriven trong 07-01-2017 - 09:53

Trước tiên, ta có bổ đề sau: 

Nếu $a+b+c=p$, và đặt: $ab+bc+ca=\frac{1}{3}(p^2-t^2);t\geq 0$. Ta có:

$\frac{(p+t)^2(p-2t)}{27}\leq abc\leq \frac{(p-t)^2(p+2t)}{27}$.

Không mất tổng quát chọn $a+b+c=1$.

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$\frac{1-t^2}{3r}+16(1-t^2)\geq 25$.

với $ab+bc+ca=\frac{1}{3}(1-t^2),t\geq 0$.

Theo bổ đề trên ta có: $\frac{1-t^2}{3r}\geq \frac{9(1+t)}{(1-t)(1+2t)}$.

Chú ý rằng: $\frac{9(1+t)}{(1-t)(1+2t)}+16(1-t^2)=\frac{2t^2(4t-1)^2}{(1-t)(1+2t)}+25$.

Từ đó, ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi $t=0$ hoặc $t=\frac{1}{4}$ nghĩa là $a=b=c$ hoặc $2a=b=c$ hoặc các hoán vị.




#667419 Giải phương trình: $\sqrt{30+\frac{1}{4...

Gửi bởi Baoriven trong 07-01-2017 - 09:08

Đặt: $\frac{1}{4}\sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{x+30}}=a,(x,a\geq 0)$.

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}\sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{a+30}}=4x \\ \sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{x+30}}=4a \end{matrix}\right.$

Suy ra $x=a\Rightarrow \sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{x+30}}=4x$.

Đặt: $\frac{1}{4}\sqrt{x+30}=t,(t\geq 0)$.

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}\sqrt{30+x}=4t \\\sqrt{30+t}=4x \end{matrix}\right.$

Suy ra: $x=t$.

Tới đây, ta giải pt: $4x=\sqrt{x+30}$




#667373 $\frac{a-b\sqrt{5}}{b-c\sqrt...

Gửi bởi Baoriven trong 06-01-2017 - 21:35

Mình có ý tưởng mà vướng khúc cuối.

Trường hợp: $a,c$ cùng số dư khi chia cho $3$.

Thì được $a^2+ac+c^2$ chia hết cho $3$ nên $a=c=1$. Suy ra $b=1$.

Còn trường hợp còn lại :

Do $(a;c)=1$ và $ac=b^2$ thì $a,c$ là các số chính phương. ...

Còn vướng chỗ này.

 

P/S: Cách của NguyenTaiTue giải thích rõ được không ? Trong trường hợp $k$ hữu tỉ thì sao ?




#667362 $\frac{a-b\sqrt{5}}{b-c\sqrt...

Gửi bởi Baoriven trong 06-01-2017 - 21:18

Quy về bài toán tìm $a,c$ để $a^2+ac+c^2$ là một số nguyên tố và $(a;c)=1$.

Do để $\frac{a-b\sqrt{5}}{b-c\sqrt{5}} \in \mathbb{Q}$ thì $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$.




#667314 Đề cử Thành viên nổi bật 2016

Gửi bởi Baoriven trong 06-01-2017 - 18:24

1. Tên nick ứng viên: I Love MC, baopbc, tritanngo99, vanchanh123.

2. Thành tích nổi bật: dành nhiều thời gian đóng góp, đăng bài cho các topic nhiệt tình.

3. Ghi chú thêm: Không có.