Baoriven

Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng:

$\frac{a^3+abc}{(b+c)^2}+\frac{b^3+abc}{(c+a)^2}+\frac{c^3+abc}{(a+b)^3} \geq \frac{3}{2}.\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$

Dạng này chắc chỉ có thể liên hợp.

Phương trình ban đầu tương đương:

$(x-2)[1+\frac{4(13x+10)}{(10x+4\sqrt{3x^2+4x+5})\sqrt{3x^2+4x+5}}-\frac{37x+26}{(2\sqrt{11x^2+12x+13}+9x)\sqrt{11x^2+12x+13}}]=0$.

Vậy được nghiệm $x=2$.

Chứng minh phương trình:

$1+\frac{4(13x+10)}{(10x+4\sqrt{3x^2+4x+5})\sqrt{3x^2+4x+5}}-\frac{37x+26}{(2\sqrt{11x^2+12x+13}+9x)\sqrt{11x^2+12x+13}}=0$ vô nghiệm.

Từ đề bài ta có: $x(\frac{10}{\sqrt{3x^2+4x+5}}-\frac{9}{\sqrt{11x^2+12x+13}})=4-x$.

Dễ dàng chứng minh được: $\frac{10}{\sqrt{3x^2+4x+5}}\geq \frac{9}{\sqrt{11x^2+12x+13}}$.

Nên: $0< x< 4$.

Do đó: $\frac{4(13x+10)}{(10x+4\sqrt{3x^2+4x+5})\sqrt{3x^2+4x+5}}> 0$.

Mặt khác: $1-\frac{37x+26}{(2\sqrt{11x^2+12x+13}+9x)\sqrt{11x^2+12x+13}}> 0$

Điều này hiển nhiên đúng vì: $2(11x^2+12x+13)-37x-26+9x\sqrt{11x^2+12x+13}> 0$ (Chỗ này có thể biến đổi tương đương hoặc dùng điều kiện của $x$ vừa có).

Bài 470: Giải phương trình:

$\sqrt[3]{-15x^3+3x^2+2}-x=71\sqrt{16x^3+3x-1}+1$

Bài 471: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}a^2-b^2-2a+2b+3=0 \\ a^2-2ab+2b+7=0 \end{matrix}\right.$

Từ phương trình đầu, ta có: $(x^3+x)(y+1)=1$.

Từ phương trình hai, ta có:

$4x^3y^2+8x^3y+4x^3-8x^3y-8xy-17x+8=0\Leftrightarrow 4x^3(y+1)^2-8y(x^3+x)-17x+8=0$

$\Leftrightarrow \frac{4x^3}{(x^3+x)^2}-17x+8+8(x^3+x)=8(y+1)(x^3+x)\Rightarrow \frac{4x^3}{(x^3+x)^2}-17x+8(x^3+x)=0$

$\Leftrightarrow \frac{(x-1)x(x+1)(8x^4+15x^2+5)}{(x^2+1)^2}=0$.

Ta được nghiệm $x= \pm 1$ Loại nghiệm $x=0$.

Thử loại thỏa.

P/S: Bài này cần bước thử lại vì ở phần màu đỏ là hệ quả của phương trình đầu.

Nhận thấy rằng: ở VP ban đầu là: $2(3x-1)\sqrt{3x-1}=2(\sqrt{3x-1})^3$ 

Nên ta tách ở VT ra được: $2(x+1)^3$ và còn dư: $x^2-x+2$

Từ đó tách ra được: $x^2-x+2=(x+1)^2-(\sqrt{3x-1})^2$. Do ta đang muốn đưa về dạng: $f(x+1)=f(\sqrt{3x-1})$.

Bài này có xuất hiện ở AoPS: http://www.artofprob...unity/c6h384068

Bài 467: Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{1-x}(\sqrt{x}+\sqrt{1-x})=x(y+\sqrt{y}) & & \\32x(x^{2}-1)(2x^{2}-1)^{2}+y=0 & & \end{matrix}\right.$$

Bài 466: Giải phương trình:

$4x^2-11x+10=(x-1)\sqrt{2x^2-6x+2}$

Cho a,b,c,d dương thỏa mãn: $a+b+c+d=4$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{5-abc}+\frac{1}{5-bcd}+\frac{1}{5-cda}+\frac{1}{5-dab}\leq 1$

Cho x,y,z dương thỏa mãn: $x+y+z=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{xy}{\sqrt{xy+yz}}+\frac{yz}{\sqrt{yz+zx}}+\frac{zx}{\sqrt{zx+xy}}\leq \frac{\sqrt{2}}{2}$

Lời giải hệ thứ 2:

Đặt: $\sqrt{y}=t$,$t> 0$.

Từ phương trình (2) ta có:

$4xt+5t^2+6x^2-5x+10=0\Leftrightarrow (2t+x)^2+t^2+5(x^2-x+2)=0$

PHƯƠNG TRÌNH này vô nghiệm.

Vậy hệ này vô nghiệm.

Ý tưởng bài này khá quen thuộc:

Với: $a+b+c=0$ thì $\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\left | \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right |$

Ta biến đổi phương trình ban đầu:

$\frac{1}{(2x-1)^2}+\frac{1}{(3x+1)^2}+\frac{1}{(x+2)^2}=\frac{4}{(x+2)^2}$ với: $(2x-1)+(-3x-1)+(x+2)=0$

1/ Ta đưa về phương trình bậc 2 theo ẩn x:

$12x^2+2(3y-14)x+3y^2-28y=0$

$\Delta =-27y^2+252y+196\geq 0$

Do $y\epsilon \mathbb{Z}\Rightarrow z=0;1;2;...;10$

Để $x$ nguyên thì $\Delta $ là số chính phương.

Ta có: $z=0;8;10$ thỏa.

Ta được: $(x;y)\in \color{blue}{\left\{(0;0),(1;8), (-1;10)\right\}}$ 

$x=0$ không thỏa mãn.

Đặt: $y=xt$.

Ta có: $4(5x^3+3y^3-2xy)=3(3x^3+2y^3+3xy)\Leftrightarrow 11x^3+6y^3-17xy=0$

$\Leftrightarrow 11x^3+6x^3t^3-17x^2t=0\Leftrightarrow x=\frac{17t}{6t^3+11}$.

Mặt khác, ta có: $15x^3+9y^3-18=6x^3+4y^3-16\Leftrightarrow 21x^3+13y^3=34\Leftrightarrow x^3=\frac{34}{21+13t^3}$.

Ta giải phương trình: $\frac{(17t)^3}{(6t^3+11)^3}=\frac{34}{21+13t^3}\Leftrightarrow \frac{289k}{(6k+11)^3}=\frac{2}{21+13k},k=t^3$

Bài 463: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}y^3x-x^4=28 \\ xy^2+2x^2y+x^3=18\sqrt{2} \end{matrix}\right.$