Mình thì nghĩ nguyên lý Dirichlete ở Olympiad có thể được thừa nhận. Đương nhiên đa thức Cyclotomic là một công cụ mạnh rồi .
Ý tưởng của mình cho bài toán trên bắt đầu từ ý tưởng phản chứng, vì mình chẳng thể quy nạp, hay làm bất cứ gì như bình thường. Mình phản chứng dựa trên $p$. Mình còn phát hiện ra là nếu như trong tay có một số nguyên tố $\equiv p - 1\pmod{p}$ thì bài toán sẽ vô lý hẳn. Vì vậy mình cố gắng tìm ra các lực lượng khác để truy ra số nguyên tố đó. Bài này cũng gợi gợi chút gì đó trong chứng minh vô hạn số nguyên tố của Euler nên cũng chứng minh được tập $S$ vô hạn. Phần còn lại là cố gắng tìm ra số nguyên tố dạng $kp + a$ với $a$ không thặng dư chính phương modulo $p$ (tự nhiên xuất thần nghĩ ra cái này). Chỉ cần $\frac{p - 1}{2}$ số nguyên tố như vậy ta đã truy ra số nguyên tố mình cần.
Bài 50. (AMM) Chứng minh rằng nếu ta chọn $n$ số tự nhiên từ $2n$ số nguyên dương đầu tiên thì ta luôn tìm được số square - free.
Nói thêm về số square-free, ta gọi $n$ là số square-free nếu và chỉ nếu với $p\in\mathbb{P}$ sao cho $p\mid n$ thì $v_{p}(n) = 1$.
- Zaraki, canhhoang30011999, ineX và 1 người khác yêu thích