câu hình $b$ ta chứng minh $\Delta FDC \sim \Delta KDL$
câu $c$ lúc thi em làm hơi dài dòng
Ta có 2 bổ đề sau (bổ đề 1 quen thuộc còn bổ đề 2 em đã đọc rồi nhưng lại quên cách chứng minh nên ghi dễ dàng biến đổi góc vào bài làm luôn :v)
Bổ đề 1: $H$ trực tâm $\Delta ABC$ thì tâm $O'$ của $\odot (BHC)$ đối xứng với $O$ qua $BC$.
Bổ đề 2: $\Delta ABC$ có $S,I,T$ lần lượt thuộc $BC,CA,AB$ sao cho $AS,BI,CA$ lần lượt là các đường phân giác trong của $\Delta ABC$ $\angle BAx$ là góc ngoài tại đỉnh $A$ thì khi đó $\angle TIB=\frac{\angle BAx}{4}$
Quay lại bài toán:
Gọi $H$ là trực tâm $\Delta ABC$
$N$ là tâm $Euler$ của $\Delta ABC$
$M$ là trung điểm $BC$
$KL$ cắt $DE$ tại $V$
$I,S$ là giao của $DF$ với $BE$ và $DE$ với $CF$
Áp dụng bổ đề 2 vào $\Delta DFE$ ta được $\angle EIS=\angle EDL$
=> $\angle IES+\angle EIS=\angle KLD+\angle EDL$
=> $\angle ISD=\angle KVD$ => $IS$ // $KL$
$AH=OO'=2OM$ và $AH$ // $OO'$ nên $AHO'O$ là hình bình hành => $\overline{A,N,O'}$
Vì $\mathcal P_{I/(O')}=IB.IH=IF.ID=\mathcal P_{I/(N)}$
$\mathcal P _{S/(O')}=SH.SC=SE.SD=\mathcal P_{S/(N)}$
nên $SI$ là trục đẳng phương của $(O')$ và $(N)$
Do đó $NO' \perp IS$ hay $AO' \perp KL$
Vậy điểm cố định $d$ luôn đi qua là $O'$
- nntien và anhminhnam thích