dunghoiten

Bài toán:  Cho phương trình:

$$(\sqrt{x}+\sqrt{x-1})(m\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}+16\sqrt[4]{x^2-x})=1$$

Với $m$ là tham số thực. Tìm số các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt.

A. $11$

B. $9$

C. $20$

D. $4$

Bài toán: Cho hình lăng trụ tứ giác $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân có đáy lớn $AD=a\sqrt{2}$ biết $CD \perp (ABA'B')$ và $A'B' \perp (CDC'D')$.Góc hợp bởi $BC'$ và $(ABCD)$ là $60^o$, góc hợp bởi $A'D$ và $(ABCD)$ là $\alpha$ sao cho $\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Tính $d(AB', CD')$

Điều kiện: $x+y>0$,$x\neq y$

Biến đổi phương trình (1) ta có: $(x-2y+4)^2-4(x-2y+4)-5=0\Rightarrow x-2y=-5;1$

Biến đổi phương trình (2) về dạng: $\sqrt{\frac{(x+y)(x-2y)}{x-y}}+\sqrt{x+y}=\frac{1}{x^2-y^2}$

Bạn làm tiếp phần còn lại được k ???

Cho a,b,c >0 thỏa mãn: $b^{2}+c^{2}\leqslant a^{2}$

Tìm min A=$\frac{1}{a^{2}}(b^{2}+c^{2})+a^{2}(\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})$

$A=\dfrac{b^2+c^2}{a^2}+a^2(\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}) \geq \dfrac{b^2+c^2}{a^2}+\dfrac{4a^2}{b^2+c^2}$

$=(\dfrac{b^2+c^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{b^2+c^2})+\dfrac{3a^2}{b^2+c^2} \geq 2+3=5$

Dấu "=" $\iff a^2=b^2+c^2$

Ở đây

$\fn_cm \large Cho x,y,z\geq 0. CMR: \sum \frac{1}{x^2+xy+y^2} \geq \frac{9}{(x+y+z)^2}$

Bạn tham khảo ở đây

Đề sai, đề đúng phải là:

$$\sum \frac{2a^3-b^3}{ab+b^2}\geq \frac{a+b+c}{2}$$

Ta có:

$$\frac{2a^3-b^3}{ab+b^2}\geq \frac{11a-9b}{4}\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2(8a+5b)}{4b(a+b)}\geq 0, \text{luôn đúng}$$

Thiết lập các BĐT tương tự và cộng lại ta có đpcm.

Theo mk, nếu đề kiểu này thì sẽ hợp lí hơn

$\sum \dfrac{2b^3-a^3}{ab+b^2} \leq \dfrac{a+b+c}{2}$

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1

CMR:$\frac{ab}{\sqrt{a+bc}}+\frac{bc}{\sqrt{b+ca}}+\frac{ac}{\sqrt{c+ab}}\leq \frac{1}{2}$

$\sum \dfrac{ab}{\sqrt{a(a+b+c)+bc}}=\sum \dfrac{ab}{\sqrt{(a+b)(a+c)}} \leq \sum \dfrac{1}{4}(\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{ac}{a+c})= \dfrac{1}{2}$

Dấu "=" $\iff a=b=c=\dfrac{1}{3}$

Bài toán

1, cho $x,y,z \geq 0$: $x+y+z=1$. Tìm max của: $P=xy+yz+zx-2xyz$

2, Cho $x,y,z \geq 0; x+y+z=1$. Tìm Max: $P=xy+yz+zx-xyz$

$\sum \frac{a}{ab+a+1}\leq 1$

$\dfrac{a}{ab+a+1}+\dfrac{ab}{abc+ab+a}+\dfrac{cab}{a^2bc+abc+ab}$

$=\dfrac{a}{ab+a+1}+\dfrac{ab}{1+ab+a}+\dfrac{1}{a+1+ab}=1$

Dấu "=" luôn xảy ra

Bài toán: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $(a+c)(b+c)=4c^2$. Tìm Min của biểu thức: $\dfrac{32a^3}{(b+3c)^3}+\dfrac{32b^3}{(a+3c)^3}-\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{c}$

Bài 1: Cho $a,b,c \in N; \ a+b+c=100$. Tìm max của $M=abc$

Bài 2: Cho $a \in [1;2], b \in [4,5], c \in [7,10] ; \ a+b+c=16$. Tìm Max $P=abc$ 

Đề phải là tìm Max bạn ạ ! Nhìn là thấy ngay !

 

Dễ thấy $\frac{3}{2}(\sqrt{3}+1)> 4$  ($a=b=c=1$)

 

Bài dạng này rất khó và hay

Chắc đề là tìm Max r bạn

bạn có thể làm phần 2b đc không còn phần 2a mk làm thê này, đến đây làm tương tự 2b thì mk l biết làm nữa

$a+a+1+b+b+1 \geq 6\sqrt[6]{a^2b^2}=6\sqrt[3]{ab}$

$\rightarrow \dfrac{2}{3}(a+b+c)+1 \geq \sum \sqrt[3]{ab}$

$\rightarrow \sum \sqrt[3]{ab} \leq 3$

Bài toán 2:

Đề là tìm $Min$ hay $Max$ vậy bạn?

Đề là tìm Min, mk có cả kết quả phần 2b luôn, $min_P=\dfrac{3}{2}(\sqrt{3}+1)$