Đến nội dung


tquangmh

Đăng ký: 21-11-2015
Offline Đăng nhập: 30-09-2016 - 23:53
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Tìm các số nguyên dương $a, b, c> 1.$

25-08-2016 - 23:33

Tìm các số nguyên dương $a, b, c> 1$ đôi một khác nhau thỏa mãn: $abc-1\vdots (a-1)(b-1)(c-1).$

 

 

Do vai trò của $a;b;c$ là như nhau nên giả sử : $a\leq b\leq c$. 

Đặt :$\left\{\begin{matrix} x=a−1\\ y=b−1 \\ z=c−1 \end{matrix}\right.$ với  $0< x\leq y\leq z$ và $x;y;z \in \mathbb{Z}^{+}$.

Ta có : 

$(x+1)(y+1)(z+1)−1\vdots xyz$

$\Leftrightarrow xyz+xy+yz+zx+x+y+z\vdots xyz$

$\Leftrightarrow \frac{xyz+xy+yz+zx+x+y+z}{xyz} \in \mathbb{Z}^{+}$

$\Leftrightarrow f(x,y,z)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx} \in \mathbb{Z}^{+}$

 

Để ý rằng : Nếu $a>b;a,b \in \mathbb{Z}^{+}\Rightarrow \frac{1}{a}< \frac{1}{b}$.

Do đó : 

$f(x,y,z)\leq f(1,2,3)\approx 2,8(3)\Rightarrow f(x,y,z) \in \left \{ 1;2 \right \}$

mà : $f(3,4,5)\approx 0,98(3) < 1 \Rightarrow x \in \left \{ 1;2 \right \}$

 

* TH1 : $\left\{\begin{matrix} f(x,y,z)=1\\x=1 \end{matrix}\right.$. Có : 

$f(1,y,z)=1+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}+\frac{1}{yz}=1$

$\Leftrightarrow \frac{2}{z}+\frac{2}{y}+\frac{1}{yz}=0$ (vô lí vì $y;z\in \mathbb{Z}^{+}$ )

Lí luận tương tự : 

TH2 : $\left\{\begin{matrix} f(x,y,z)=1\\ x=2 \end{matrix}\right.$. $\rightarrow$ $(x=2;y=4;z=14)$ $\rightarrow$ $(a=3;b=5;c=15)$.

* TH3 : $\left\{\begin{matrix} f(x,y,z)=2\\ x=1 \end{matrix}\right.$. $\rightarrow$ $(x=1;y=3;z=7)\rightarrow (a=2;b=4;c=8)$.

* TH4 : $\left\{\begin{matrix} f(x,y,z)=1\\ x=2 \end{matrix}\right.$. $\rightarrow$ vô nghiệm.

 

 

Vậy : $(a;b;c)=(3;5;15);(2;4;8)$ cùng các hoán vị. 

$\blacksquare$


Trong chủ đề: Chứng minh rằng $abc(a+b+c)+2\geq 2(ab+bc+ca)$

24-05-2016 - 19:30

Đã giải ở link này. http://diendantoanho...e-5#entry630624

 

Gần cuối trang 5, bài 51


Trong chủ đề: n chia hết cho 9 và n+1 chia hết cho 25

11-05-2016 - 16:16

Minh hieu r, tks b nhieu nha.
Các bài khác b giải dc ko?

 

Câu 1b : Làm tương tự như câu a), nhưng lúc này ta lấy kết quả n + 2 = 9(25f + 11)  + 2 chỉ cần xét chia hết cho 4.

Câu 3 : Mình chưa học về phi.  :P Bạn có thể đăng lại bài này đề các anh chị giải cho. Giống câu 2 đó.


Trong chủ đề: n chia hết cho 9 và n+1 chia hết cho 25

11-05-2016 - 12:06

tks b nhé :)
B cho mình hỏi, tại sao lại chọn r=4 mà ko chọn số khác vay ?

 

khi đã xác định đc 25t - 1 chia hết cho 9 thì mình xét các số t = 9f + r (r =0;1;2;...;8)

Thử với r = 1 vào : 

 25t - 1 = 25(9f + 1) - 1 = 25.9f + 25 - 1 = 25.9f + 24 mà 24 ko chia hết cho 9 nên r = 1 ko thỏa mãn 25t - 1 chia hết cho 9.

Thử lần lượt thì thấy r = 4 thỏa mãn. (99 chia hết cho 9) 


Trong chủ đề: n chia hết cho 9 và n+1 chia hết cho 25

11-05-2016 - 00:09

Bài 1 : 

Theo đề bài, ta có : 

$n = 9k$   (k là số tự nhiên)

$n + 1 = 25t$   (t là số tự nhiên)

Từ đó, ta suy ra : 

$n = 25t - 1 = 9k$

$\Rightarrow 25t - 1\vdots 9$

Xét $t = 9f + r$ (f, r là số tự nhiên; $r = 0;1;2;3;...;8$)

Thử với các giá trị của $r$, ta chọn đc $r = 4$.

Do đó : $n + 1 = 25(9f + 4) = 225f + 100$ 

Vậy : $n = 9(25f + 11)$ với $f$ là số tự nhiên.