tquangmh

Đề thi : 

Nguồn : FB

Có ai có được đề SASMO (Singapore and Asian Schools Math Olympiads) năm 2016 vừa thi vào ngày 10/4/2016 không ạ ? Nếu anh chị/bạn nào có đề thì cứ đăng lên đi ạ (nhất là trong cấp THCS).

Link thông tin thi : http://titan.edu.vn/...intuc.asp?id=85 

Áp dụng bất dẳng thức $C-S$ có

$\frac{1}{1+a+b^2}\leq\frac{a+c+1}{(a+b+c)^2}$

Suy ra

$\sum\frac{1}{1+a+b^2}\leq\frac{2(a+b+c)+3}{(a+b+c)^2}$

Hay cần chứng minh 

$\frac{2(a+b+c)+3}{(a+b+c)^2}\leq 1$

$\Leftrightarrow (a+b+c+1)(a+b+c-3)\geq 0$

Vậy ta có $Q.E.D$

_ Bài của bạn hay thật. Tuy nhiên một vài chỗ mình chưa hiểu :

* Nếu a = b = c = 1 thì dấu bằng xảy ra, không kể.

* Nếu a < 1, b = 1, c > 1 ví dụ như số của bạn kieutuanduc (a = 0.5; b = 1; c = 2) thì rõ ràng không có :

$\sum \frac{1}{1+a+b^{2}} \leq \frac{2(a+b+c)+3}{(a+b+c)^{2}}$

do

$\frac{1}{1+c+a^{2}}\leq \frac{1+b+c}{(a+b+c)^{2}}\Leftrightarrow \frac{1}{1+2+0.5^{2}}\leq \frac{1+1+2}{(0.5+1+2)^{2}}\Leftrightarrow \frac{4}{13}\leq \frac{4}{49}(vô lí)$

Tuy nhiên mình nghĩ hướng bài này là vận dụng Cauchy-Schwarz.

chỗ $(\frac{a^2}{a+1}+2)=(a+1+\frac{1}{a+1})$ ko bằng nhau ạ

Bằng nhau à bạn, chỉ cần $a\neq -1$ thôi.

$\frac{a^{2}}{a+1}+2=\frac{(a+1)^{2}+1}{a+1}=a+1+\frac{1}{a+1}$

Câu 5 (max) đã được giải tại đây : http://diendantoanho...-5/#entry626114

Cho a, b > 0 và $a^{2000} + b^{2000}$ = $a^{2001} + b^{2001}$ = $a^{2002} + b^{2002}$. Tính: $a^{2011} + b^{2011}$

Giải : 

Để ý rằng $(a^{2001}+b^{2001})(a+b)-(a^{2000}+b^{2000}).ab=a^{2002}+b^{2002}$

Có thể nói đây là phương pháp chung cho loại toán này !

Chỗ này hình như đề bài có nhầm lẫn hả bạn?

Có lẽ là do đề của bạn duymy2001 đấy bạn ! Đây là một bài toán quen thuộc mà đề thi thử HSG trên mạng có rải rác, có lẽ bạn ấy đánh thiếu mũ 2. Mình cũng cảm ơn bạn đã góp ý.

_ ĐKXĐ : $x\neq 0$

_ Ta có : 

$8(x+\frac{1}{x})^{2}+4(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})^{2 }-4(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})(x+\frac{1}{x})^{2}=(x+4)^{2}\Leftrightarrow 8(x+\frac{1}{x})^{2}+4(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})[(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})-(x+\frac{1}{x})^{2}]=(x+4)^{2}\Leftrightarrow 8(x+\frac{1}{x})^{2}-8(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})=(x+4)^{2} \Leftrightarrow (x+4)^{2}=16\Leftrightarrow x+4=\pm 4\Leftrightarrow x=-8 (do:x\neq 0)\Leftrightarrow S={-8}$

Bài toán. Cho $\triangle ABC$ có $O,H$ lần lượt là tâm ngoại tiếp và $H$ là trực tâm. $AO$ cắt $BC$ tại $E. AH$ cắt $BC$ tại $D. M$ là trung điểm $BC$. Trung trực $DE$ cắt $AM$ tại $P$. Kẻ $AH\perp EP. HD$ cắt trung trực $DE$ tại $Q$. Kẻ $AS\perp QE$. Chứng minh rằng: $SE$ là phân giác $\angle BSE$.

Post 40.png

Hình vẽ bài toán

Hình như đề có gì đó sai sai anh ơi !  Hình như là góc BSC phải ko anh !

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

 

Nếu a = b = c thì hình như là : $a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.

2.Gpt:

     $x^2 +\frac{4x^2}{(x+2)^2}=12$

Bài 2 :

_ Ta có : 

$x^{2}+\frac{4x^{2}}{(x+2)^{2}}=12\Leftrightarrow \frac{4x^{2}}{(x+2)^{2}} -2.\frac{2x}{x+2}.(x+2)+(x+2)^{2}=16\Leftrightarrow (\frac{2x}{x+2}-x-2)^{2}=16\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \frac{2x}{x+2}-x-2=-4\\ \frac{2x}{x+2}-x-2=4 \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x^{2}-2x-4=0\\x^{2}+6x+12=0 \end{bmatrix}$

Từ đó tìm được nghiệm dễ dàng .

Bài 7 hay quá ! Sai rồi.

_ Gọi BH là trung tuyến của tam giác đều ABC. Ta có : $S_{BHC}=\frac{1}{2}S_{ABC}$

_ Vậy ta cần chứng minh : 

$S_{BCD}+S_{BND}=S_{BHC}$

mà theo hình vẽ : 

$S_{BHC}=S_{BHD}+S_{BCD}$

bài toán quy về chứng minh :

$S_{BHD}=S_{BND}$

_ Do tam giác ABC đều, BH là trung tuyến nên BH cũng là đường cao. 

$\widehat{BHD}=90^{O}\Rightarrow \Delta BHD$ vuông tại H, HM là trung tuyến $\Rightarrow \Delta HMD$ cân tại M $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \widehat{MDH}=\widehat{MHD}\\MD=HM \end{matrix}\right.$

_ $\Delta DBC$ có : $\widehat{DBC}=20^{O};\widehat{BCD}=60^{O}$ $\Rightarrow \widehat{BDC}=100^{O}\Rightarrow \widehat{MDH}=80^{O} \Rightarrow \widehat{HMD}=20^{O}$ (Tam giác HMD cân tại H)

_ Ta có :  $\Delta BMN=\Delta MHD(c.g.c)$

$\left\{\begin{matrix} BM=MH(=MD)\\BN=MD(=BM) \\ \widehat{HMD}=\widehat{MBD}(=20^{O}) \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow S_{BMN}=S_{MHD}\Rightarrow 2S_{BMN}=2S_{MHD} \Rightarrow S_{HBD}=S_{BND}$

Chứng minh hoàn tất.  

1. Tìm GTNN của $S=\sqrt{x-1}+ \sqrt{2x^2-5x+7}$

2. Cho $x>0;y>0; x+y=2$

    Tìm GTLN của $B=2xy(x^2+y^2)$

* Bài 1 :

_ Áp dụng Bất đẳng thức $\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}$ (Tương đương với $\sqrt{ab}\geq 0$ nên đúng), có : 

$S=\sqrt{x-1}+ \sqrt{2x^{2}-5x+7}\geq \sqrt{x-1+2x^{2}-5x+7}=\sqrt{2(x-1)^{2}+4}\geq 4$

_ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi : $\begin{bmatrix} x-1=0\\2x^{2}-5x+7=0 \end{bmatrix} \Leftrightarrow x=1$

Vậy : $minS=4\Leftrightarrow x=1$

Giải phương trình: $\frac{x^{2}}{\left ( x+2 \right )^{2}} = 3x^{2}-6x-3$

_ ĐKXĐ : $x\neq -2$

_ Ta có : 

$\frac{x^{2}}{\left ( x+2 \right )^{2}} = 3x^{2}-6x-3\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{\left ( x+2 \right)^{2}}-3x^{2}+6x+3=0\Leftrightarrow (\frac{x}{x+2})^{2}-2.\frac{x}{x+2}.x+2+(x+2)^{2}-x^{2}-4x-4-3x^{2}+8x+3=0\Leftrightarrow (\frac{x}{x+2}-x-2)^{2}=(2x-1)^{2}$

Từ đây ta dễ dàng giải.

Nghiệm là : $S={\frac{-3\pm \sqrt{13}}{3};\pm \sqrt{6}}$