takarin1512

Đặt $t=abc\Rightarrow t\leq \frac{1}{27}$

Bất đắng thức cần chứng minh tương đương $\left ( 1-3abc \right )^3\geq \left ( \frac{8}{3} \right )^3abc\Leftrightarrow \left ( 1-3t \right )^3\geq \left (\frac{8}{3} \right )^3t\Leftrightarrow \frac{1}{27}\left ( 1-27t \right )\left ( 27t^2-26t+27 \right )\geq 0$ (điều này đúng) do đó ta có đpcm.

Theo đề bài, ta có $a_{n+2}=\left \lfloor \frac{2a_{n+1}}{a_n} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{2a_{n}}{a_{n+1}} \right \rfloor$$> \frac{2a_{n+1}}{a_n}+\frac{2a_n}{a_{n+1}}-2\geq 4-2=2\Rightarrow$$a_n\geq 3\forall n\geq 3$. Do đó ta có thể xét dãy $\left \{ a_n \right \}$ mới bắt đầu từ $a_3$ của dãy cũ và lúc này $a_n\geq 3 \forall n$.

Giả sử $max\left \{ a_n,a_{n+1} \right \}>5\forall n$

Xét một bộ $\left ( a_n,a_{n+1} \right )$ bất kỳ và giả sử $a_{n+1}\geq a_n$. Ta xét các trường hợp sau:

+Trường hợp 1: $\frac{a_n}{a_{n+1}}<\frac{1}{2}$$\Rightarrow \frac{2a_{n}}{a_{n+1}}<1\Rightarrow \left \lfloor \frac{2a_{n}}{a_{n+1}} \right \rfloor=0$

$a_{n+2}=\left \lfloor \frac{2a_{n+1}}{a_{n}} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{2a_{n}}{a_{n+1}} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{2a_{n+1}}{a_{n}} \right \rfloor<\frac{2a_{n+1}}{a_{n}}\leq \frac{2a_{n+1}}{2}=a_{n+1}\Rightarrow a_{n+2}< max\left \{ a_n,a_{n+1} \right \}$.

+Trường hợp 2: $\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=\frac{1}{2}\Rightarrow a_{n+2}=5 < max\left \{ a_n,a_{n+1} \right \}$.

+Trường hợp 3: $\frac{1}{2}<\frac{a_{n}}{a_{n+1}}<1\Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n}<2\Rightarrow a_{n+2}=\left \lfloor \frac{2a_{n}}{a_{n+1}} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{2a_{n+1}}{a_{n}} \right \rfloor\leq 1+\left \lfloor 2.2 \right \rfloor=5 < max\left \{ a_n,a_{n+1} \right \}$.

+Trường hợp 4: $\frac{a_n}{a_{n+1}}=1\Rightarrow a_{n+2}=4< max\left \{ a_n,a_{n+1} \right \}$.

Vậy với mọi trường hợp thì $a_{n+2}< max\left \{ a_n,a_{n+1} \right \}$. Tương tự ta có $a_{n+3}< max\left \{ a_{n+1},a_{n+2} \right \}\leq max\left \{ a_n,a_{n+1} \right \}\Rightarrow max\left \{ a_{n+2},a_{n+3} \right \}< max\left \{ a_{n},a_{n+1} \right \}$. Điều này mâu thuẫn với giả sử cho nên tồn tại $k$ sao cho $max\left \{ a_k,a_{k+1} \right \}\leq 5$.

Do đó $a_k,a_{k+1}\in \left \{ 3,4,5 \right \}$. Bằng tính toán trực tiếp ta suy ra được từ 9 bộ này luôn suy ra được một trong hai bộ $\left ( 4,3 \right )$ hoặc $\left ( 4,4 \right )$. Như vậy tồn tại $m$ để $a_m=4, a_{m+1}\in \left \{ 3,4 \right \}$.

Bài 4: Bài toán tổng quát: Ở mỗi ô vuông con của một hình vuông $m \times m$, ta ghi một số nguyên từ $1$ đến $m$ sao cho mỗi số từ $1$ đến $m$ được ghi đúng $m$ lần. Chứng minh tồn tại một hàng hoặc một cột chứa $n+1$ số khác nhau với $m,n$ là các số nguyên thỏa mãn $n^2<m$

Ta quy ước điểm của một hàng (hoặc cột) sẽ bằng với số các số nguyên khác nhau mà hàng (hoặc cột) đó chứa. Điểm của một số bằng tổng số hàng và cột chứa số đó. Nhận thấy tổng điểm của các hàng và cột bằng tổng điểm của các số.

Giả sử không tồn tại hàng hoặc cột nào chứa $n+1$ số khác nhau. Do đó tổng điểm của các hàng và các cột không vượt quá $2mn$ điểm.$\left ( 1 \right )$

Xét một số bất kỳ xuất hiện trong $t$ cột, theo nguyên lý Dirichlet, sẽ tồn tại một cột chứa không ít hơn $\frac{m}{t}$ lần số này hay có thể nói có không ít hơn $\frac{m}{t}$ hàng có chứa số đã chọn.

Tổng số cột và hàng chứa số đó $\geq t+\frac{m}{t}\geq 2\sqrt{m}>2n$

Do đó tổng số điểm của của các số $> 2mn$.$\left ( 2 \right )$

$\left ( 1 \right )\left ( 2 \right )$ mâu thuẫn với nhau suy ra điều giả sử sai $\Rightarrow$ đpcm.

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b$.

Đặt $a^3+b=2^m, b^3+a=2^n\left ( m\geq n \right )$$\Rightarrow b\equiv -a^3\equiv b^9\left ( mod2^n \right )\Rightarrow 2^n|b^9-b$$\Rightarrow v_2\left ( b \right )+v_2\left ( b^2-1 \right )+v_2\left ( b^2+1 \right )+v_2\left ( b^4+1 \right )\geq n$ (quy ước $v_2\left ( 0 \right )=+\infty$)

Vì $a^3+b, b^3+a$ là các lũy thừa của $2$ cho nên $\left\{\begin{matrix} 3v_2\left ( a \right )=v_2\left ( b \right )\\ 3v_2\left ( b \right )=v_2\left ( 2 \right ) \end{matrix}\right.\Rightarrow v_2\left ( a \right )=v_2\left ( b \right )=0$ hay $a,b$ lẻ.

Vì $b$ lẻ cho nên $v_2\left ( b \right )=0, v_2\left ( b^2+1 \right )=v_2\left ( b^4+1 \right )=1\Rightarrow 2+v_2\left ( b^2-1 \right )\geq n\Rightarrow b^3+a|4\left ( b^2-1 \right )$

Nếu $b=1$;

$2^m=a^3+1=\left ( a+1 \right )\left ( a^2-a+1 \right )$, mà $a^2-a+1$ lẻ suy ra $a^2-a+1=1\Rightarrow a=1$

Nếu $b\geq 3$$\Rightarrow 4\left ( b^2-1 \right )\geq b^3+a\geq b^3+b$. Giải bất phương trình ta được $b=3$$\Rightarrow 5\geq a\geq b=3$. Thử lại ta chọn được $\left ( a,b \right )=\left ( 5,3 \right )$

Vậy các cặp $\left ( a,b,c \right )$ thỏa mãn là $\left ( 1,1,2 \right ),\left ( 5,3,12 \right )$

Giả sử không chọn được nhóm 6 bạn thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta đánh số thứ tự cho các bạn nam từ $1$ đến $15$ theo chiều kim đồng hồ, gọi $x_i$ là số bạn nữ giữa bạn nam thứ $i$ và $i+1 \left ( 1\leq i\leq 14 \right )$ và $x_{15}$ là số bạn nữ giữa bạn nam thứ $15$ và thứ $1$.

Ta có $\sum_{1}^{15}x_i=15$

Điều kiện để chọn ra nhóm 6 bạn ngồi cạnh nhau mà thỏa mãn điều kiện bài toán là tồn tại $i$ sao cho $x_i+x_{i+1}\leq 3$ và trong hai số $x_{i-1}, x_{i+2}$ luôn có một số mà tổng nó với $x_i, x_{i+1}$ không nhỏ hơn 3.

Nếu trong $x_i$ tồn tại một số không nhỏ hơn 3, giả sử $x_1\geq 3$, nếu $x_2+x_3\leq 3$ thì ta chọn được bạn nam số $2,3,4$ (vô lý); do đó $x_2+x_3\geq 4$, nếu $x_3+x_4\geq 3$ thì ta chọn được bạn nam số $3,4,5$ (vô lý), do đó $x_3+x_4\geq 4$, cứ làm như vậy ta được $x_i+x_{i+1}\geq 4\left ( 2\leq i\leq 14 \right )$, suy ra $\sum_{1}^{15}x_i=x_1+\left ( x_2+x_3 \right )+...+\left ( x_{14}+x_{15} \right )\geq 3+7.4>15$ (vô lý).

Do đó $x_i$ chỉ nhận các giá trị $0,1,2$, nếu $x_i=1$ với mọi $i$ thì ta điều giả sử vô lý do đó trong $x_i$ có ít nhất 1 số bằng $0$ và 1 số bằng $2$.

Ta viết dãy $x_i$ thành dãy 15 số $0,1,2$, nhận thấy số số 0 phải bằng số số 2.

Vì có ít nhất một số 2 nên không mất tính tổng quát giả sử số đầu tiên là 2, nếu có tồn tại hai số 1 và 2 hoặc hai số 2 nằm liên tiếp nhau thì ta có thể chọn được các bạn thỏa mãn bài toán (vô lý với giả sử) nên ta với mỗi số 2 thì hai bên cạnh nó phải là hai số 0. Do đó số số 0 nhiều hơn số số 2(vô lý)(số số 0 bằng số số 2 chỉ trong trường hợp dãy có chẵn số và các số 2, 0 xếp xen kẽ nhau nhưng dãy có 15 số nên điều này không xảy ra được).

Vậy điều giả sử sai, luôn chọn được nhóm 6 bạn thỏa mãn yêu cầu bài toán.