takarin1512

Cho hàm số $f(x)$ khả vi trên đoạn $[a,b]$. Biết rằng $f'(a)=f'(b)=0$. Chứng minh tồn tại $c\in [a,b]$ sao cho $f''(c)\geq \frac{4|f(a)-f(b)|}{(b-a)^2}$

Tìm tất cả các số nguyên tố $p,q$ thỏa $p^2+1|2003^q+1$ và $q^2+1|2003^p+1$.

Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm GTLN của $\frac{1}{x^3+2}+\frac{1}{y^3+2}+\frac{1}{z^3+2}$

Cho đường tròn tâm O và dây cung AB. Một điểm E di động trên dây AB(E khác A, E khác B). Qua E kẻ dây cung CD (khác dây AB) của đường tròn (O). Trên tia DA lấy P, trên tia DB lấy Q sao cho P, Q đối xứng nhau qua E. Chứng minh rằng đường tròn tiếp xúc với PQ và đi qua C luôn đi qua một điểm cố định khi E di chuyển trên dây AB.

Với mỗi số nguyên dương $n\geq 2$ gọi $s_n$ là số các hoán vị $\left ( a_1, a_2, ...,a_n \right )$ của tập hợp $E_n=\left \{ 1, 2, ..., n \right \}$, mà mỗi hoán vị thỏa mãn tính chất $1\leq \left | a_i-i \right |\leq 2$ với mọi $i=1, 2, ..., n.$ Chứng minh rằng với $n>6$ ta có $1.75s_{n-1}<s_n<2s_{n-1}$

Bài này hình như là trong đề thi VMO 2003 mà giờ mình tìm lại thì không thấy đề này trên mạng nữa, bạn nào có đáp án của đề 2003 hay cách giải của bài này thì đăng giúp mình nhan. Bài này người ta có hướng dẫn là tìm công thức truy hồi $s_{n+1}=s_n+s_{n-1}+s_{n-2}+s_{n-3}-s_{n-4}$ nhưng mình làm không ra. Bạn nào có ý tưởng gì thì cũng đăng lên giùm mình. Mình xin cảm ơn trước.