Sonhai224

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $\left [ 0,1 \right ]$ thỏa mãn $\int_{0}^{1}x^2f(x)dx=0$ và giá trị lớn nhất của $\left | f(x) \right |$ trong đoạn $\left [ 0,1 \right ]$ là $6$. Tính giá trị lớn nhất của $\int_{0}^{1}x^3f(x)dx$

với các số $x,y>0$ thỏa mãn $2^x+2^y=4$

tìm $P_{max}$ của biếu thức:

$P=(2x^2+y)(2y^2+x)+9xy$

1. một trường thpt tổ chức thi đấu cờ vua cho lớp 10 và lớp 11. số học sinh tham gia lớp 11 gấp 10 lần số học sinh lớp 10 tham gia. thể lệ thi đấu là mỗi người thi đấu 1 lần với tất cả các người còn lại, người thắng ghi 1 điểm người thua k có điểm. kết quả trận đấu số điểm lớp 11 gấp 4.5 lần số điểm lớp 10 và tất cả các trận k có trận hòa. số học sinh mỗi đội?
2. trong 1 buổi gặp mặt có 507 người tham gia; những người quen bắt tay nhau biết rằng nếu người A bắt tay người B thì 1 trong 2 người A,B bắt tay không quá 4 lần. hỏi có nhiều nhất bao nhiêu cái bắt tay

câu 1:

số học sinh $10$ là $a$ thì lớp $11$ là $10a$ .

xét $a>1$ thì ta có.

tổng số điểm là số trận đấu: $C_{11a}^{2}$

nhưng lớp $11$ đấu với lớp $11$ thì số điểm đó nhất định thuộc về lớp $11$ nên  có sẵn $C_{2}^{10a}$ điểm

tương tự với lớp $10$ thì có sẵn $C_{2}^{a}$

còn số điểm khi lớp $10$ đấu với $11$ sẽ chia ra cho 2 khối.

gọi số điểm đó là $x\geq0 $ và $y\geq 0$ cho 10 và 11

thì ta có hệ

dựa vào dữ kiện số điểm lớp 11 gấp 4.5 lần số điểm lớp 10 và tất cả các trận k có trận hòa

thì ta suy ra 

$y=\frac{9}{11}.C_{11a}^{2}-C_{10a}^{2}=99a^2-9a-100a^2+10a=-a^2+a\geq 0\rightarrow a\leq 1$

mà theo điều ta đặt ra thì $a>1$ .

nên vô lý

vậy chỉ có thể $a=1$

ta thử thì thấy TH $a=1$ k thỏa mãn, vậy k có đáp án thỏa mãn.

k biết làm có nhầm k nữa. Ahihi

-CÂU 2:

trong 507 người ta sẽ chia được những người bị giới hạn số lần bắt tay và k bị giới hạn só lần bắt tay, lần lượt gọi số người đó là $a$ và $b$ 

ta thấy rằng:
những người k bị giới hạn số lần bắt tay với nhau k thể bắt tay với nhau.tượng tự những người bị giới hạn cx vậy.

vậy chỉ có những cái bắt tay.

vậy số người k bị giới hạn có tối thiểu là $4$ nên $b$ lớn hơn hoặc bằng 4

số cái bắt tay từ người bị giới hạn tối đa là $4a$

vậy thì từ $b$ cũng phải cho $4a$ cái bắt tay.

vậy tổng số cái bắt tay là $4a$

vậy $a$ phải lớn nhất nên $b$ bé nhất bằng 4.

$a+b=507$

nên $a=503$

số cái bắt tay nhiều nhất là $4a=503.4=2012$ cái

tìm x, y nguyên dương:

$\left | 3^x-2^y \right |=1$

Mình thấy dạo này diễn đàn có khá nhiều bài đăng mà vẫn chưa có lời giải và đã bị trôi mất, nên mình chỉ muốn góp ý rằng diễn đàn nên chia các bài toán đã có lời giải và bài toán chưa có lời giải tách riêng ra, để những bài chưa có lời giải đỡ bị trôi.

 

Chứng minh $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{x+y}+1$ với x,y,z k âm và $x+y+z=1$

chứng minh với x>y>0 ta có

                            $\sqrt{xy}< \frac{x-y}{lnx-lny}< \frac{x+y}{2}$            

câu  1 

 

$(1)\rightarrow (y-\sqrt{-3x-2})(y+3x+2)=0$

nếu $y=-3x-2$ thay vào $(2)\rightarrow (x+1)(x^2+11x+4)=0$

nếu $y=\sqrt{-3x-2}$ thay vào 2 rồi biến đổi ta có $(x+1)^3=(1-\sqrt{-3x-2})^3$

 

câu 2 

 

$u_{n+1}-u_{n}=2017u_{n}^{2}$

nên $u_{n}$ tăng

nếu $u_n$ bị chặn trên và có giới hạn hữu hạn $a$ thì $a\geq 2017$ và $2017a^2+a=a\rightarrow a=0$ ( vô lí ) vậy $limu_n=+\infty$

b) chia 2 vế cho $2017u_nu_n+1$ thì 

$\frac{u_n}{u_{n+1}}=\frac{1}{2017}(\frac{1}{u_n}-\frac{1}{u_{n+1}})$ nên $LimA=Lim\frac{1}{2017}(\frac{1}{u_1}-\frac{1}{u_{n+1}})$

 

câu 4

 

lần lượt cho $x=1,2,3,4,5$ vào ta có $P(4)=0, P(3)=0, P(2)=0 , P(1)=0 , p(0)=0$ nên $P(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)Q(x)$ thay vào pt ban đầu ta có 

$Q(x-1)=Q(x)$ nên $Q(x)=c$

vì $P(2017)=C_{2017}^{5}\rightarrow c=\frac{1}{120}$ từ đó suy ra $P(x)$

câu 5

 

$P(x,y)=x^3-3xy^2+y^3=(y-x)^3-3(y-x)(-x)^2+(-x)^3=(-y)^3-3(-y)(x-y)^2+(x-y)^3$   nên theo giả thuyết $P(x,y)=n\rightarrow P(y-x,-x)=n, P(-y,x-y)=n$

câu 6

 

xét $a_{1}=min{a_{1},a_{2},,,,a_{100}}$ và $a_{2}\neq a_{1}$ khi dods ta có 

$s_{1}=a_{1} s_{2}=a_{2} s_{3}=a_{1}+a_{2} s_{4}=a_{1}+a_{2}+a_{3} s_{5}=a_{1}+...+a_{4} .... s_{100}=a_{1}+.....+a_{100}$

nếu có mốt số trong số các số trên chia hết cho $100$ thì ta có dpcm. còn ngược lại thì theo nguyên lý diichlet thì có ít nhất $2$ số có cùng số dư khi chia cho $100$ và $2$ số đó không đồng thời là $a_{1},a_{2}$ nên hiệu của $2$ số đó chia hết cho $100$ từ đây cũng suy ra điều phải chứng minh

Câu $1$ ($4$ điểm): giải pt

$\left\{\begin{matrix} y^2+3xy+2y=(3x+2)\sqrt{-3x-2}+y\sqrt{-3x-2} & \\ x^3+3x^2+12x+6=(3x-1)y & \end{matrix}\right.$

Câu $2$( $4$ điểm): cho dãy số $u_{n}$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} u_{1}=2017 & \\ u_{n+1}=2017u_{n}^{2}+u_n & \end{matrix}\right.$

a) chứng minh $limu_n=+\infty$

b) tính $lim(\frac{u_1}{u_2}+\frac{u_2}{u_3}+....+\frac{u_n}{u_{n+1}})$

Câu $3$: ($3$ điểm)

cho đường tròn $(O;R)$ có dây $AB$ cố định không phải là đường kính, điểm $C$ di động trên đường tròn ( $C$ khác $A$ và $B$ ). gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và $E$ là trung điểm của đoạn thẳng $CH$ .

a) tìm quỹ tích của $E$ .

b) vã tam giác đều $CHM$ với $M,B$ nằm cùng phía với đường thẳng $CH$. chứng minh rằng điểm $M$ di động trên một đường tròn cố định

Câu $4$ ( $3$ điểm)

tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

i) $xP(x+1)=(x-5)P(x)$ với mọi $x$ thuộc $R$

ii) $P(2017)=C_{2017}^{5}$

Câu $5$ ( $3$ điểm)

cho phương trình $x^3-3xy^2+y^3=n$ với $n$ nguyên dương. Chứng minh rằng nếu phương trình có một cặp nghiệm nguyên $(x,y)$ thì nó có ít nhất ba cặp nghiệm nguyên phân biệt.

Câu $6$ ( $3$ điểm)

cho $100$ số nguyên dương, không lớn hơn $100$ ( không nhất thiết phải khác nhau) có tổng bằng $200$. chứng minh rằng từ các số đó có thể chọn đưuọc một số số có tổng bằng $100$

tìm $x,y,z$ biết $x!+y!=z!$

xác định CTTQ biết $u_{1}=2$ và $u_{n+1}=\sqrt{2}+\sqrt{u_{n}^{2}+1}$

An và Bình chơi xúc sắc. Mỗi ván, $3$ con xúc sắc giống hệt nhau được gieo đồng thời. Bình là người thắng ván đó nếu có ít nhất $2$ con xúc sắc có mặt ngửa là mặt $6$ chấm, ngược lại An thắng. Giả sử An chơi với Bình $5$ ván, tính xác suất để Bình thắng ít nhất là $3$ ván.

Giải PT
a) $\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+4356}+x}{x}}-\sqrt{x\sqrt{x^2+4356}-x^2}=5$

 

câu a:

$pt <=>$ $\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+4356}+x}{x}}-\sqrt{x\frac{x^{2}+4356-x^2}{\sqrt{x^2+4356}+x}}=5$

$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+4356}+x}{x}}-\sqrt{\frac{4356x}{\sqrt{x^2+4356}+x}}=5$

đặt $t= \frac{\sqrt{x^2+4356}+x}{x}$ thì phương trình trở thành

$t-\frac{66}{t}=5$

chứng minh $2^n=a^p+b^p$ (p là số nguyên tố) khi và chỉ khi $n-1$ chia hết cho $p$

với x,y dương chứng minh $\frac{1}{\sqrt{x+2y^2}}+\frac{1}{\sqrt{y+2x^2}}\geq \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{(x+y)(x+y+1)}}$