LAdiese

Theo cách bạn tính thì lập ban qua 2 công đoạn: chọn trước 1 người, sau đó chọn thêm 2 người nữa.

Thí dụ:

- Chọn 1 người: ông A, chọn 2 ngưởi tiếp: B và C. Như vậy được ban gồm $(A,B,C)$.

- Chọn 1 người: ông B, chọn 2 ngưởi tiếp: A và C. Như vậy được ban gồm $(B,A,C)$.

Thực chất 2 cách chọn này chỉ là 1 cách nên bạn đã tính trùng lặp.

Xin đề nghị 1 cách giải:

Số cách chọn không có nam trong ban (tức là chọn toàn nữ): $C_{4}^{3}$

Số cách chọn thỏa yc: $C_{11}^{3}-C_{4}^{3}=165-4=161$

 

 

Xét trường hợp tổng quát.

Gọi $X$ là tập tất cả các cách dán tem lên phong bì thì $\left | X \right |=n!$

Gọi $A_{i}\left ( 1\leq i\leq n \right )$ là tập tất cả các cách dán tem $i$ lên đúng phong bì $i$ thì $\left | A_{i} \right |=(n-1)!$

Ta thấy $\left | A_{i}\cap A_{j} \right |=\left ( n-2 \right )!$

và $\left | A_{i_{1}}\cap A_{i_{2}}\cap ....\cap A_{i_{k}}  \right |=\left ( n-k \right )!$ với $\left ( 1\leq i_{1}<i_{2}<....< i_{k}\leq n  \right )$

Theo nguyên lý bù trừ, số cách dán tem không đúng bì thư là:

$D_{n}=\left | X \right |-\sum_{i=1}^{n}\left | A_{i} \right |+\sum_{1\leq i< j\leq n}^{ }\left | A_{i}\cap A_{j} \right |-....+\left ( -1 \right )^{n}\left | A_{1}\cap A_{2}\cap ...\cap A_{n} \right |$

$=n!-C_{n}^{1}\left ( n-1 \right )!+C_{n}^{2}\left ( n-2 \right )!-...+\left ( -1 \right )^{n}C_{n}^{n}0!$

Với $n=5$ ta có:

$D_{5}=5!-C_{5}^{1}4!+C_{5}^{2}3!-C_{5}^{3}2!+C_{5}^{4}1!-C_{5}^{5}0!=44$

XS cần tìm:

$1-\frac{44}{5!}=\frac{76}{120}=\frac{19}{30}$

Với diện tích 2x1 ta có 1 cách lát, với diện tích 2x2 ta có 2 cách lát (2 viên 2x1 hoặc 2 viên 1x2)

Gọi $u_{n}$ là số cách lát hành lang kích thước 2xn. Ta có 2 trường hợp:

- Diện tích lát còn lại là 2x1 thì có 1 cách lát (lát 1 viên 2x1) nên số cách lát xong hành lang là $u_{n-1}$

- Diện tích lát còn lại là 2x2 thì có 2 cách lát (lát 2 viên 2x1 hoặc 2 viên 1x2) nên số cách lát xong hành lang là $u_{n-2}$

Theo nguyên lý cộng, ta có:

$u_{n}=u_{n-1}+u_{n-2}$

Với $u_{n-1}=1, u_{n-2}=2$ thì:

$u_{3}=u_{2}+u_{1}=2+1=3$

$u_{4}=u_{3}+u_{2}=3+2=5$

$u_{5}=8$

$u_{6}=13$

$u_{7}=21$

$u_{8}=34$

Vậy có $34$ cách lát gạch.

Giúp mình với! Cám ơn nhiều!
Bạn An có 2 thùng sữa, 1 thùng 5 lít sữa chứa 5% chất béo và một thùng 3 lít sữa chứa 3% chất béo. Bạn An trộn hai thùng sữa này vào 1 thùng lớn. Hỏi tỉ lệ chất béo trong thùng này là bao nhiêu?

Lượng chất béo trong thùng 5l và 3l lần lượt là 0,25l và 0,09l.
Tỉ lệ chất béo trong thùng mới là (0,25+0,09)/8.100%=4,25%

Screenshot.jpg

a/ Giả sử $\frac{a}{b}=k$ với $ k\in \mathbb{N}\text{ và }2\leq k\leq 6$    

Vì $a=b=1\left ( \text{mod 9} \right )$

$\Rightarrow b\left ( k-1 \right )\vdots 9$   $\left ( * \right )$  

Ta không tìm được $k$ thỏa $\left ( * \right ) \Rightarrow  $ không tồn tại $a,b$ sao cho $a\vdots b$.

b/ Các số chia hết cho 4 có tận cùng là $12,16,24,32,36,52,56,64,72,76$.

Số các số thỏa đề bài: 

$10A_{5}^{5}=1200 \text{ số}$

Ta lần lượt xét các dạng (mỗi dạng có $A_{5}^{5}=120 \text{ số}$):

$\overline{abcde12}$:Tổng chữ số: $a+b+c+d+e=28-3=25$ và các chữ số này xuất hiện ở  các hàng $\frac{120}{5}=24$ lần. Do đó tổng các số loại này là:

$24.1111100.25+120.12$

Tương tự:

$\overline{abcde16}$:Tổng chữ số: $a+b+c+d+e=28-7=21$  Do đó tổng các số loại này là:

$24.1111100.21+120.16$

$\overline{abcde24}$:Tổng chữ số: $a+b+c+d+e=28-6=22$  Do đó tổng các số loại này là:

$24.1111100.22+120.24$

$\overline{abcde32}$:Tổng chữ số: $a+b+c+d+e=28-5=23$  Do đó tổng các số loại này là:

$24.1111100.23+120.32$

$\overline{abcde36}$:Tổng chữ số: $a+b+c+d+e=28-9=19$  Do đó tổng các số loại này là:

$24.1111100.19+120.36$

$\overline{abcde52}$:Tổng chữ số: $a+b+c+d+e=28-7=21$  Do đó tổng các số loại này là:

$24.1111100.21+120.52$

$\overline{abcde56}$:Tổng chữ số: $a+b+c+d+e=28-11=17$  Do đó tổng các số loại này là:

$24.1111100.17+120.56$

$\overline{abcde64}$:Tổng chữ số: $a+b+c+d+e=28-10=18$  Do đó tổng các số loại này là:

$24.1111100.18+120.64$

$\overline{abcde72}$:Tổng chữ số: $a+b+c+d+e=28-9=19$  Do đó tổng các số loại này là:

$24.1111100.19+120.72$

$\overline{abcde76}$:Tổng chữ số: $a+b+c+d+e=28-13=15$  Do đó tổng các số loại này là:

$24.1111100.15+120.76$

Vậy tổng các số thỏa yêu cầu là:

$24.1111100.200+120.440=5333280000+52800=5333332800$

Tìm 2 số có tổng là 170 . Nếu tăng số thứ nhất lên 5 lần và tăng số thứ 2 lên 3 lần thì tổng mới là 794 .

Nếu tăng cả 2 số lên 3 lần thì tổng là:
170x3=510
Hiệu giữa tổng khi tăng số thứ nhất lên 5 lần và tăng số thứ 2 lên 3 lần với tống khi tăng 3 lần là 2 lần số thứ nhất, nên số thứ nhất là :
(794-510):2=142
Số thứ hai là :
170-142=28

Cho tập hợp A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} hãy lập số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Tính tổng của các số đó.

Gọi $X$ là tập các số có 4 chữ số khác nhau kể cả chữ số 0 có nghĩa (ở vị trí hàng nghìn).

Số các số loại này: $\left | X \right |=A_{10}^{4}\text{ số}$

Với mỗi số  $x_{i}\in X$ ta có duy nhất một số $x_{j}\in X$ mà $x_{i}+x_{j}=9999$

Do đó, tổng các số loại này là: $\frac{9999.A_{10}^{4}}{2}$

Bây giờ ta tính tổng các số có 3 chữ số khác nhau được lập từ tập $B=A\setminus \left \{ 0 \right \}$

Gọi $Y$ là tập các số có 3 chữ số khác nhau được lập từ tập $B$

Số các số loại này: $\left | Y \right |=A_{9}^{3}\text{ số}$

Tương tự, với mỗi số  $y_{i}\in Y$ ta có duy nhất một số $y_{j}\in Y$ mà $y_{i}+y_{j}=1110$

Do đó, tổng các số loại này là: $\frac{1110.A_{9}^{3}}{2}$

Vậy tổng các số theo yêu cầu đề bài là:

$\frac{9999.A_{10}^{4}}{2}-\frac{1110.A_{9}^{3}}{2}=25197480-279720=24917760$

có bao nhiêu quan hệ có tính chất phản xứng trên tập có n phần tử

Ma trận của quan hệ phản đối xứng thỏa:

- Mỗi một p tử trong $n$ p tử trên đường chéo chính nhận 1 trong 2 khả năng $0$ hoặc $1$. Số khả năng là $2^{n}$.

- Mỗi một trong $\frac{n^{2}-n}{2}$ cặp điểm đối xứng còn lại sẽ nhận được 1 trong 3 khả năng $(0,0);(0,1);(1,0)$ có số khả năng là $3^{\frac{n\left ( n-1 \right )}{2}}$ cho nên ta có quan hệ phản đối xứng là $2^{n}.3^{\frac{n\left ( n-1 \right )}{2}}$

Có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau chia hết cho 9 & 5 nhưng không chia hết cho 2

Các số thỏa đề bài có dạng $\overline{abcde5}$

Từ tập $D=\left \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right \}$ ta lập các tập con có các phần tử là 1, 2, 3 và 4 c số sao cho tổng các c số trong tập con chia hết cho 9 và không có tập nào là tập con của các tập còn lại. Cụ thể, ta có:

$\left \{ 0 \right \};\left \{ 9 \right \}$

$\left \{ 1,8 \right \};\left \{ 2,7 \right \};\left \{ 3,6 \right \};\left \{ 4,5 \right \}$

$\left \{ 1,3,5 \right \};\left \{ 1,2,6 \right \};\left \{ 2,3,4 \right \};\left \{ 5,6,7 \right \};\left \{ 4,6,8 \right \};\left \{ 3,7,8 \right \}$

$\left \{ 1,4,6,7 \right \};\left \{ 2,3,5,8 \right \}$

và có các kết hợp:

$\left \{ 2,3,4 \right \}\cup\left \{ 5,6,7 \right \}\rightarrow 5!$ số

$\left \{ 4,6,8 \right \}\cup\left \{ 1,3,5 \right \}\rightarrow 5!$ số

$\left.\begin{matrix} \left \{ 3,7,8 \right \}\\ \left \{ 1,2,6 \right \} \end{matrix}\right\}\cup \left \{ 4,5 \right \}\cup \left\{\begin{matrix} \left \{ 0 \right \}\rightarrow 2.4.4! số\\ \left \{ 9 \right \}\rightarrow 2.5! số\end{matrix}\right.$ 

$\left.\begin{matrix} \left \{ 5,6,7 \right \}\cup \left \{ 1,8 \right \}\\ \left \{ 1,3,5 \right \}\cup \left \{ 2,7 \right \} \end{matrix}\right\}\cup \left\{\begin{matrix} \left \{ 0 \right \}\rightarrow 2.4.4! số\\ \left \{ 9 \right \}\rightarrow 2.5! số\end{matrix}\right.$

$\left \{ 1,8 \right \}\cup \left \{ 2,7 \right \}\cup \left \{ 4,5 \right \}\rightarrow 5!$ số

$\left.\begin{matrix} \left \{ 1,8 \right \}\\ \left \{ 2,7 \right \}\\ \left \{ 3,6 \right \} \end{matrix}\right\}\cup \left \{ 4,5 \right \}\cup \left \{ 0 \right \}\cup \left \{ 9 \right \}\rightarrow 3.4.4!$ số

$\left \{ 2,3,5,8 \right \}\cup \left \{ 0 \right \}\cup \left \{ 9 \right \}\rightarrow 4.4!$ số

Vậy số các số thỏa yêu cầu đề bài là:

$\sum =7.5!+8.4.4!=4!\left ( 35+32 \right )=1608$ số

Lời giải của bạn chanhquocnghiem rất hay và tinh tế!. Cám ơn bạn.

Cũng xin đóng góp lời giải theo suy nghĩ của mình như sau:

b/ Ta xem ở mỗi bậc thứ $i$ có 2 trạng thái: bước lên hoặc không bước lên. Vậy ta có ở:

bậc thứ 1: có $2$ trạng thái

bậc thứ 2: có $2$ trạng thái

..................

bậc thứ 11: có $2$ trạng thái

bậc thứ 12: chỉ có $1$ trạng thái là bắt buộc phải bước lên.

Do đó số cách khác nhau để lên cầu thang là: $2^{11}.1=2048$ cách

a/ Đặt $S_{i}$ là số cách khác nhau bước đến bậc thứ $i$. Vì có thể bước 1,2,3,4 hoặc 5 bậc cùng 1 lúc nên:

$S_{12}=S_{11}+S_{10}+S_{9}+S_{8}+S_{7}$

$S_{11}=S_{10}+S_{9}+S_{8}+S_{7}+S_{6}$

............................

$S_{6}=S_{5}+S_{4}+S_{3}+S_{2}+S_{1}$

$S_{5}=S_{4}+S_{3}+S_{2}+S_{1}+1$  (thêm 1 cách vì khi đứng ở sàn tầng 1 bước 1 bước 5 bậc )

$S_{4}=S_{3}+S_{2}+S_{1}+1$  (thêm 1 cách vì khi đứng ở sàn tầng 1 bước 1 bước 4 bậc )

$S_{3}=S_{2}+S_{1}+1$  (thêm 1 cách vì khi đứng ở sàn tầng 1 bước 1 bước 3 bậc )

$S_{2}=S_{1}+1$  (thêm 1 cách vì khi đứng ở sàn tầng 1 bước 1 bước 2 bậc )

$S_{1}=1$

Vậy: $S_{1}=1; S_{2}=2; S_{3}=4; S_{4}=8; S_{5}=16; S_{6}=31;.........; S_{11}=912$ và cuối cùng $S_{12}=1793$ cách

Cho mình hỏi tại sao lại nhận thừa số $3(a_{i}+a_{j}-3a_{i}a_{j})-1$ vậy bạn ?

Có phải là khi xoá đi $a_{i}$ và $a_{j}$ thì ta nhận được số mới là $a_{i}+a_{j}-3a_{i}a_{j}$ 

Rồi sau đó xét tiếp cái tích kia thì $a_{i}+a_{j}-3a_{i}a_{j}$ sẽ trở thành $(3(a_{i}+a_{j}-3a_{i}a_{j})-1)$ đúng không ?

Vâng, mà $3(a_{i}+a_{j}-3a_{i}a_{j})-1=-(3a_{i}-1)(3a_{j}-1)$  do đó $P$ luôn luôn là hằng số (mà chỉ thay đổi dấu) tức $P$ là đại lượng bất biến trong suốt quá trình thay đổi trên. 

Mình cũng đã giải (không biết có đúng không...) câu về đại lượng bất biến trong Đề chọn đội tuyển Ams 2016-2017, nếu bạn quan tâm, xin bạn vui lòng xem tại đây:

 http://diendantoanho...-ams-2016-2017/

HPT đã cho tương đương với:
$\left\{\begin{matrix} y_{1}+y_{2}+...+y_{5}=20\\ 0\leq y_{i}\leq 5 \end{matrix}\right.$ $(*)$
Ta thấy với $y_{i}\geq 0$ thì $(*)$ có số nghiệm là $C_{24}^{4}$. 

Có 1 ẩn $\geq 6$  thì $(*)$ có số nghiệm là $C_{5}^{1}.C_{18}^{4}$.

Có 2 ẩn $\geq 6$  thì $(*)$ có số nghiệm là $C_{5}^{2}.C_{12}^{4}$.

Có 3 ẩn $\geq 6$  thì $(*)$ có số nghiệm là $C_{5}^{3}.C_{6}^{4}$.

Vậy số nghiệm thỏa $(*)$ cũng là số nghiệm cần tìm là:

$C_{24}^{4}-(C_{5}^{1}.C_{18}^{4}+C_{5}^{2}.C_{12}^{4}+C_{5}^{3}.C_{6}^{4})=10626-(3060+4950+150)=2466$

Hôm nay lang thang trên forum, phát hiện bài mình đã giải sai, xin chỉnh lại như sau:

HPT đã cho tương đương với:
$\left\{\begin{matrix} y_{1}+y_{2}+...+y_{5}=20\\ 0\leq y_{i}\leq 5 \end{matrix}\right.$ $(*)$
Ta thấy với $y_{i}\geq 0$ thì $(*)$ có số nghiệm là $C_{24}^{4}$. 

Có 1 ẩn $\geq 6$  thì $(*)$ có số nghiệm là $C_{5}^{1}.C_{18}^{4}$.

Có 2 ẩn $\geq 6$  thì $(*)$ có số nghiệm là $C_{5}^{2}.C_{12}^{4}$.

Có 3 ẩn $\geq 6$  thì $(*)$ có số nghiệm là $C_{5}^{3}.C_{6}^{4}$.

Theo nguyên lý bù trừ, ta có số nghiệm thỏa $(*)$ cũng là số nghiệm cần tìm là:

$C_{24}^{4}-(C_{5}^{1}.C_{18}^{4}-C_{5}^{2}.C_{12}^{4}+C_{5}^{3}.C_{6}^{4})=10626-15300+4950-150=126$

Cầu thang từ tầng 1 lên tầng 2 có 12 bậc. Có bao nhiêu cách khác nhau để bạn A lên tầng 2 nếu bạn ấy:

a/bước 1,2,3,4 hoặc 5 bậc một lúc.

b/ bước với số bậc là tùy ý.(Thí dụ: bạn ấy có thể bước 1 bước là 12 bậc).

từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và trong mỗi số đó có đúng 2 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ

Số các số lập được kể cả số có c số 0 đứng đầu :
$C(2,4).C(3,4).5!=6.4.5!$
Số các số lập được có c số 0 đứng đầu :
$C(1,3).C(3,4).4!=3.4.4!$
Số các số lập được thỏa yc:
$4!(120-12)=24.108=2592$ số

Tìm số nghiệm nguyên của hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} + {x_5} = 25\\1 \le {x_i} \le 6,i \in \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}\end{array} \right.$$

HPT đã cho tương đương với:
$\left\{\begin{matrix} y_{1}+y_{2}+...+y_{5}=20\\ 0\leq y_{i}\leq 5 \end{matrix}\right.$ $(*)$
Ta thấy với $y_{i}\geq 0$ thì $(*)$ có số nghiệm là $C_{24}^{4}$. 

Có 1 ẩn $\geq 6$  thì $(*)$ có số nghiệm là $C_{5}^{1}.C_{18}^{4}$.

Có 2 ẩn $\geq 6$  thì $(*)$ có số nghiệm là $C_{5}^{2}.C_{12}^{4}$.

Có 3 ẩn $\geq 6$  thì $(*)$ có số nghiệm là $C_{5}^{3}.C_{6}^{4}$.

Vậy số nghiệm thỏa $(*)$ cũng là số nghiệm cần tìm là:

$C_{24}^{4}-(C_{5}^{1}.C_{18}^{4}+C_{5}^{2}.C_{12}^{4}+C_{5}^{3}.C_{6}^{4})=10626-(3060+4950+150)=2466$