Dark Magician 2k2

Tại sao $(x,y)=1$ vậy ạ?

Do $d$ là ước chung lớn nhất của $a$ và $b$ nên $\frac{x}{a}$ và $\frac{y}{b}$ không còn ước chung nào khác.

Chứng minh: Nếu $m$ là số nguyên dương, thì ƯCLN$(m.a,m.b)$ =$m.$ƯCLN$(a,b)$

Đặt $d=(a;b)$, suy ra $\left\{\begin{matrix} a=d.x\\ b=d.y \end{matrix}\right.,(x;y)=1$

Suy ra $\left\{\begin{matrix} m.a=d.m.x\\ m.b=d.m.y \end{matrix}\right.$

Do $(x;y)=1$ nên $(m.a;m.b)=m.d=(a;b).m$, đpcm.

https://drive.google...eW9obkZoUWU1Z0U.
Sorry ko ghi ra đc vì đang dùng phone

Dòng thứ 3, mẫu của 2 phân thứ là $\sqrt{9x^2+3}+\frac{2\sqrt{21}}{5}$ với $\sqrt{1+x+x^2}+\frac{\sqrt{21}}{5}$ chứ nhỉ?

chứng minh P_(x)= [(x-a₁)(x-a₂)...(x-a_n)]²+1 bất khả quy 

Giả sử $P(x)$ khả quy. Viết $P(x)=f(x).g(x)$ sao cho $deg_{f}, deg_{g}\geq 1$

Dễ thấy $f(a_{i}).g(a_{i})=1, i=1,2,..,n$

Do $P(x)$ vô nghiệm nên $f(x)$ và $g(x)$ cũng vô nghiệm. 

Giả sử $f(x)>0,\forall x\in\mathbb{Z}$, suy ra $f(a_{i})=g(a_{i})=1, \forall i=1,2,..,n$

Đặt $deg_{f(x)}=f, deg_{g(x)}=g$.

Theo cách viết thì dễ dàng có $f+g=2n$

Ta xét $3$ trường hợp sau:

   $TH_1:f>g$. Suy ra f<n. Mà $f(x)-1$ có n nghiệm nhưng $deg_{f(x)-1}<n$ nên vô lý.

   $TH_2:f<g$. Tương tự cũng vô lý.

   $TH_3:f=g$. Suy ra $f(x)=g(x)=(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)+1$. Thử lại thấy vô lý.

Vậy $P(x)$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}$.

Gtnn: x^4+x^2-6x+9

Gõ dùm Latex cái đi.

Ta có $P=x^4+x^2-6x+9=(x^4+x^2-6x+4)+5=(x-1)^2(x^2+2x+4)+5\geq 5$

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=1$

Vậy $P_{min}=5$ khi $x=1$