Đến nội dung

Dark Magician 2k2

Dark Magician 2k2

Đăng ký: 04-03-2016
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#682178 $3x(2+\sqrt{9x^2+3})+(4x+2)(\sqrt{1+x+x^2}...

Gửi bởi Dark Magician 2k2 trong 28-05-2017 - 07:32

https://drive.google...eW9obkZoUWU1Z0U.
Sorry ko ghi ra đc vì đang dùng phone

Dòng thứ 3, mẫu của 2 phân thứ là $\sqrt{9x^2+3}+\frac{2\sqrt{21}}{5}$ với $\sqrt{1+x+x^2}+\frac{\sqrt{21}}{5}$ chứ nhỉ?




#681845 ĐA THỨC

Gửi bởi Dark Magician 2k2 trong 24-05-2017 - 21:06

chứng minh P(x)= [(x-a1)(x-a2)...(x-an)]2+1 bất khả quy 

Giả sử $P(x)$ khả quy. Viết $P(x)=f(x).g(x)$ sao cho $deg_{f}, deg_{g}\geq 1$

Dễ thấy $f(a_{i}).g(a_{i})=1, i=1,2,..,n$

Do $P(x)$ vô nghiệm nên $f(x)$ và $g(x)$ cũng vô nghiệm. 

Giả sử $f(x)>0,\forall x\in\mathbb{Z}$, suy ra $f(a_{i})=g(a_{i})=1, \forall i=1,2,..,n$

Đặt $deg_{f(x)}=f, deg_{g(x)}=g$.

Theo cách viết thì dễ dàng có $f+g=2n$

Ta xét $3$ trường hợp sau:

   $TH_1:f>g$. Suy ra f<n. Mà $f(x)-1$ có n nghiệm nhưng $deg_{f(x)-1}<n$ nên vô lý.

   $TH_2:f<g$. Tương tự cũng vô lý.

   $TH_3:f=g$. Suy ra $f(x)=g(x)=(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)+1$. Thử lại thấy vô lý.

Vậy $P(x)$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}$.




#678401 Đề thi Học sinh giỏi tỉnh Thái Nguyên, lớp 10, năm học 2016 - 2017

Gửi bởi Dark Magician 2k2 trong 23-04-2017 - 16:46

Bài 2. (4 điểm)

Cho số tự nhiên $A$ thoả mãn: nếu đổi chỗ ít nhất một cặp vị trí các chữ số của số $A$, thì ta được số $B$ gấp 3 lần số $A$. Chứng minh rằng $B\ \vdots \ 27$.

Do B gấp 3 lần A nên B chia hết cho 3, suy ra A cũng chia hết cho 3 (vì tổng các chữ số của B giống của A), dó đó B chia hết cho 9, suy ra A cũng chia hết cho 9. Vậy B chia hết cho 27.




#678368 Đề thi Học sinh giỏi tỉnh Thái Nguyên, lớp 10, năm học 2016 - 2017

Gửi bởi Dark Magician 2k2 trong 23-04-2017 - 10:23

Bài 5. (3 điểm)

Giải phương trình:
\[11\sqrt{4-x}-26=-7x+2\sqrt{1+x}+\sqrt{4+3x-x^2}\]

Ta có:

$11\sqrt{4-x}-26=-7x+2\sqrt{1+x}+\sqrt{4+3x-x^2}$

$\Leftrightarrow 11\sqrt{4-x}-26+7x-2\sqrt{1+x}-\sqrt{4+3x-x^2}$

$\Leftrightarrow 21(11\sqrt{4-x}-26+7x-2\sqrt{1+x}-\sqrt{4+3x-x^2})=0$

$\Leftrightarrow 231\sqrt{4-x}-546+147x-42\sqrt{1+x}-21\sqrt{4+3x-x^2}=0$

$\Leftrightarrow 33.7\sqrt{4-x}-2.21\sqrt{1+x}-7.3\sqrt{4+3x-x^2}+147x-546=0$

$\Leftrightarrow 33(7\sqrt{4-x}+5x-22)-2(21\sqrt{1+x}-5x-27)-7(3\sqrt{4+3x-x^2}+4x-18)-33(5x-22)-2(5x+27)+7(4x-18)-546+147x=0$

$\Leftrightarrow 33(7\sqrt{4-x}+5x-22)-2(21\sqrt{1+x}-5x-27)-7(3\sqrt{4+3x-x^2}+4x-18)=0$

$\Leftrightarrow 33.\frac{49(4-x)-(5x-22)^2}{7\sqrt{4-x}+22-5x}-2.\frac{441(1+x)-(5x+27)^2}{21\sqrt{1+x}+5x+27}-7.\frac{9(4+3x+x^2)-(18-4x)^2}{3\sqrt{4+3x-x^2}-4x+18}=0$

$\Leftrightarrow (25x^2-171x+288)(\frac{33}{7\sqrt{4-x}+22-5x}-\frac{2}{21\sqrt{1+x}+5x+27}-\frac{7}{3\sqrt{4+3x-x^2}-4x+18})=0$

Ta có thể chứng minh ngoặc sau luôn dương bằng những đánh giá cơ bản (chiều gửi)

Do đó $25x^2-171x+288=0\Rightarrow \begin{bmatrix} x=3\\ x=\frac{96}{25} \end{bmatrix}$

Vậy tập nghiệm là $S=\left\{3,\frac{96}{25}\right\}$.




#677583 a,b,c>0

Gửi bởi Dark Magician 2k2 trong 16-04-2017 - 15:13

Cho a,b,c>0, $\sum a=3, max P=\sum \sqrt[3]{a +2b}$

Áp dụng AM-GM có

$P=\sum\sqrt[3]{a+2b}=\frac{\sum\sqrt[3]{(a+2b).3.3}}{\sqrt[3]{9}}\leq\frac{1}{\sqrt[3]{9}}.(\sum\frac{a+2b+3+3}{3})=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}.\frac{3(a+b+c)+6.3}{3}=\frac{9}{\sqrt[3]{9}}=3\sqrt[3]{3}$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$

Vậy $P_{Max}=3\sqrt[3]{3}\Leftrightarrow a=b=c=1$




#676793 2xyz+xy+yz+xz$\leq$1.

Gửi bởi Dark Magician 2k2 trong 09-04-2017 - 21:13

Bài 1: cho x,y,z>0 thỏa mãn 2xyz+xy+yz+xz$\leq$1. tìm GTLN của xyz

Áp dụng AM-GM có

$1\geq 2xyz+xy+yz+zx\geq 2xyz+3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$

$\Rightarrow \sqrt[3]{xyz}\leq\frac{1}{2}\Rightarrow xyz\leq\frac{1}{8}$

Dấu $"="$ xảy ra khi 

$x=y=z=\frac{1}{2}$

Vậy ...




#676747 (x+y+z)xyz=1

Gửi bởi Dark Magician 2k2 trong 09-04-2017 - 15:11

mk đag muốn hỏi dấu = ấy

Khi $(x;y;z)=(\sqrt{2}-1;1;1)$




#676687 Min A

Gửi bởi Dark Magician 2k2 trong 09-04-2017 - 08:22

Đề như này phải không?

Cho $x,y>0,x^{2}+y^2=1$ , GTNN $A=(1+x)(1+\frac{1}{y})+(1+y)(1+\frac{1}{x})$

Nhân tung ra ta được

$A=2+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(x+y)+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})$

Ta có

$2=2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2\Rightarrow x+y\leq\sqrt{2}$

Áp dụng AM-GM có

$A\geq 2+2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}+(x+y)+\frac{4}{x+y}$

                                                                           $=2+2+(x+y)+\frac{2}{x+y}+\frac{2}{x+y}$

                                                                           $\geq 4+2\sqrt{(x+y).\frac{2}{x+y}}+\frac{2}{x+y}$

                                                                           $\geq 4+2\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{2}}$

                                                                           $=4+3\sqrt{2}$

Dấu $"="$ xảy ra khi 

$x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Vậy ...




#676629 $28(a+b+c)^4\geq (a+b+c)^4+(a+b-c)^4+(b+c-a)^4+(c+a-b)^4$

Gửi bởi Dark Magician 2k2 trong 08-04-2017 - 15:21

Cho a;b;c là các số thực dương.Chứng minh rằng:

$28(a+b+c)^4\geq (a+b+c)^4+(a+b-c)^4+(b+c-a)^4+(c+a-b)^4$

Đề đúng chắc vế trái là $28(a^4+b^4+c^4)$ nhỉ?

Nhân tung ra được 

$28(a^4+b^4+c^4)\geq 4(a^4+b^4+c^4)+24(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

Áp dụng AM-GM có

$a^4+b^4+c^4\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$

$\Rightarrow 24(a^4+b^4+c^4)\geq 24(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

$\Rightarrow 28(a^4+b^4+c^4)\geq 4(a^4+b^4+c^4)+24(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

Vậy ta có đpcm.

P/s: Nếu là $28(a+b+c)^4$ thì vẫn đúng.




#676627 Số 52016.41006 có bao nhiêu chữ số?

Gửi bởi Dark Magician 2k2 trong 08-04-2017 - 15:06

 

1. Số 52016.41006 có bao nhiêu chữ số?

Ta có

$A=5^{2016}.4^{1006}=5^{2016}.2^{2012}=5^{2012}.2^{2012}.5^4=625.10^{2012}$

Vậy $A=5^{2016}.4^{1006}$ có $2015$ chữ số.




#676592 Giải hệ $\left\{\begin{matrix} x^{3...

Gửi bởi Dark Magician 2k2 trong 07-04-2017 - 22:08

Cho hệ $\left\{\begin{matrix} x^{3} &=mx &+2y \\ y^{3} &=my & +2x \end{matrix}\right.$

1. Giải hệ khi m=1

2. Giải hệ theo m?

p/s : bạn nào giúp mk với...mai thầy mk kiểm tra rồi

Nếu $x=y$ thì thay ngược lại hệ ban đầu tìm ra nghiệm.

Nếu $x\neq y$ thì:

   Lấy hai phương trình trừ cho nhau được

  $x^3-y^3=mx-2x-my+2y$

$\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)=(m-2)(x-y)$

 $\Leftrightarrow x^2+xy+y^2=m-2$

   Tương tự, cộng hai phương trình ban đầu lại được 

$x^2-xy+y^2=m+2$

   Từ đó tìm ra $x^2+y^2$ và $xy$, rồi tìm ra $(x-y)^2$ và $(x+y)^2$, sẽ tìm được $x$ và $y$ theo $m$.

Vậy ...




#675174 Đề HSG Cà Mau 2016-2017

Gửi bởi Dark Magician 2k2 trong 23-03-2017 - 21:22

 

Câu 1.

a, 

Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt{3x-2}=a>0\\ \sqrt{x+7}=b>0 \end{matrix}\right.$

Suy ra $\left\{\begin{matrix} a-b=1\\ 3b^2-a^2=23 \end{matrix}\right.$

Đến đây dễ rồi.

b,

ĐKXĐ: $x\neq 1, y\neq 2$

Đặt $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x-1}=a\\ \frac{1}{y-2}=b \end{matrix}\right.$

Suy ra $\left\{\begin{matrix} a+b=2\\ 2b-3a=1 \end{matrix}\right.$

Đến đây dễ rồi.

Câu 2.

a, Rút gọn thì đơn giản rồi, được $P=\frac{(x+5)(y+1)}{x(x-5)}$

b, Ta biến đổi giả thiết

$x^2+9y^2-4xy-2xy=-|x-3|$

$\Rightarrow (x-3y)^2=-|x-3|$

$\Rightarrow x-3y=x-3=0$

$\Rightarrow x=3,y=1$

Thay vào tìm ra P.

Câu 3.

a, Ta có 

$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\geq a(b+c+d+e)$

$\Leftrightarrow 4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2\geq 4a(b+c+d+e)$

$\Leftrightarrow (a-2b)^2+(a-2c)^2+(a-2d)^2+(a-2e)^2\geq 0$, đúng

b, Xét $1$ đường thẳng bất kì, nó tạo với $n-1$ đường còn lại $n-1$ giao điểm.

Mà có $n$ đường, nhưng mỗi giao điểm bị lặp lại $2$ lần.

Vậy số giao điểm là $\frac{n(n-1)}{2}$.

Cây 4.

a, Dễ thấy $\widehat{KIB}=\widehat{KMB}=90^o$ nên có đpcm.

b, Tam giác ABC vuông tại C có đường cao CI nên $AC^2=AI.AB$

Mà KIBM nội tiếp nên $AI.AB=AK.AM$

Do đó $AC^2=AK.AM$, suy ra AC là tiếp tuyến của $(CKM)$

Mà AC vuông góc BC cố định nên tâm đường tròn $(CKM)$ chạy trên BC cố định, đpcm.




#675170 $P=\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{...

Gửi bởi Dark Magician 2k2 trong 23-03-2017 - 20:45

Bài 1:

$a+b+c=\sqrt{\frac{bc}{a}}\sqrt{\frac{ca}{b}}+\sqrt{\frac{ca}{b}}\sqrt{\frac{ab}{c}}+\sqrt{\frac{ab}{c}}\sqrt{\frac{bc}{a}}$

Đặt: $\sqrt{\frac{bc}{a}}=tg\frac{A}{2}, \sqrt{\frac{ca}{b}}=tg\frac{B}{2}, \sqrt{\frac{ab}{c}}=tg\frac{C}{2}$.

Cho mượn đoạn này.  :D

Bài 1. Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$. Tìm giá trị lớn nhất của:

$P=\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ca}+\frac{\sqrt{abc}}{c+ab}$

Biến đổi giả thiết và đổi biến như trên, ta dễ dàng tính được

$P=\frac{1}{2}(cosA+cosB+sinC)$

$cosA+cosB=2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}\leq2cos\frac{A+B}{2}=2sin\frac{C}{2}$

Do đó

$P\leq1+\frac{1}{2}(2sin\frac{C}{2}+sinC)$

Ta xét biểu thức

$Q=2sin\frac{C}{2}+sinC$

$\Rightarrow Q=2sin\frac{C}{2}+2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}=2sin\frac{C}{2}(1+cos\frac{C}{2})$

$\Rightarrow Q^2=4sin^2\frac{C}{2}(1+cos\frac{C}{2})^2=4(1-cos^2\frac{C}{2})(1+cos\frac{C}{2})^2$

Đặt

$cos\frac{C}{2}=t,t\in(0;1)$

Suy ra

$Q^2=4(1-t^2)(1+t)^2=4(-t^4-2t^3+2t+1)$

Ta chứng minh

$Q^2\leq\frac{27}{16}$

Thật vậy

$Q^2\leq\frac{27}{16}\Leftrightarrow \frac{1}{16}(2t-1)^2(4t^2+12t+11)\geq 0$, đúng.

Do đó 

$P\leq1+\frac{3\sqrt{3}}{8}$

Dấu $"="$ xảy ra khi ...

Vậy ...




#675071 6ab=(a+b)(a+b+c)

Gửi bởi Dark Magician 2k2 trong 22-03-2017 - 21:18

Cho tam giác ABC không đều.I là tâm đường trong nội tiếp,G là trọng tâm và IG vuông góc với IC.CMR:6ab=(a+b)(a+b+c)

https://diendantoanh...54609-6abababc/




#675068 có bao nhiêu cách xếp khác nhau

Gửi bởi Dark Magician 2k2 trong 22-03-2017 - 21:12

xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh có kích thước giống nhau vào 1 dãy 7 ô trống.Hỏi:

a, có bao nhiêu cách xếp khác nhau

b,có bao nhiêu cách xếp cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau?

a, Ta xếp $3$ bi đỏ vào trước, khi đó có $C_7^3.3!$ cách ($C_7^3$ là số cách xếp $3$ bi bất kì vào $7$ chỗ trống, $3!$ là số hoán vị của $3$ bi đó do kích thước khác nhau).

Sau đó xếp $3$ bi xanh, có $C_4^3$ cách (xếp $3$ bi vào $4$ ô trống còn lại).

Do đó số cách xếp tất cả là $C_7^3.3!.C_4^3=840$ cách.

b, Do có tất cả có $7$ ô trống nên sẽ có $3$ trường hợp xếp (gọi $7$ ô đó lần lượt là $a_1,a_2,...,a_7$ thì các trường hợp sẽ là $(a_1,a_2,a_3);(a_4,a_5,a_6)$ hoặc $(a_1,a_2,a_3);(a_5,a_6,a_7)$ hoặc $(a_2,a_3,a_4);(a_5,a_6,a_7)$).

Mà mỗi trường hợp đều có $2.3!$ cách (3! là số hoán vị của $3$ bi đỏ, $2$ là số vị trí có thể của $3$ bi đỏ - đứng trước hoặc sau $3$ bi xanh).

Như vậy, tổng số cách xếp là $3.2.3!=36$ cách.