hoakute

                               ĐỀ THI HSG TOÁN 9 TỈNH NAM ĐỊNH 2016-2017     

                                                 Thời gian : 150 phút

                                                Ngày thi : 21/03/2017

Câu 1: 

a, Rút gọn : Q= $\frac{2\sqrt{3-\sqrt{5+\sqrt{13-\sqrt{48}}}}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$

b, Cho $\frac{1}{a^{2}-bc}+\frac{1}{b^{2}-ca}+\frac{1}{c^{2}-ab}=0$

Chứng minh $\frac{a}{(a^{2}-bc)^{2}}+\frac{b}{(b^{2}-ca)^{2}}+\frac{c}{(c^{2}-ab)^{2}}=0$

Câu 2: 

a. Giải phương trình $(x-1)^{2}+(x-2)\sqrt{x^{2}+1}=0$

b. Giải hệ pt :

            $\left\{\begin{matrix} x^{2}+xy-5x-3y+6=0 & \\ x^{2}+xy+y^{2}=3 & \end{matrix}\right.$

Câu 3: 

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Đường thẳng d là tiếp tuyến tại A của (O). M,N lần lượt trên d sao cho A nằm giữa M và N. Nối BM,BN cắt (O) lần lượt tại D,E.

a, Chứng minh tứ giác DMNE nội tiếp đường tròn.

b, Chứng minh $\frac{IA}{IB}=\frac{AM.AN}{AB^{2}}$  ( với I là giao DE và AB).

c, Chứng minh DE luôn đi qua một điểm cố định khi M,N thay đổi thỏa mãn AM.AN không đổi và A luôn nằm giữa M và N.

Câu 4: 

a. Có tồn tại số tự nhiên chia hết cho 2017 và có tổng các chữ số là 2017 không?

b. Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn :$\frac{x^{2}-y}{8x-y^{2}}=\frac{y}{x}$

Câu 5 : 

a. Cho a,b thuộc R thỏa mãn : $4a^{2}-3ab+4b^{2}\leq 6$ . chứng minh rằng   $2a+4b+3ab \leq 11$

b, Trên bảng có 2017 số :$\frac{1}{1}; \frac{1}{2};\frac{1}{3};...\frac{1}{2017}$ .Thực hiện trò chơi : xóa hai số u,v bất kì và thay bởi số u+v+uv . Sau hữu hạn lần biến đổi , trên bảng còn một số duy nhất. Chứng minh số đó không phụ thuộc vào đại lượng u,v. Số đó là số nào?

3. CMR n và n+2 là 2 số nguyên tố sinh đôi khi và chỉ khi $4[(n-1)!+1]+n\equiv 0 (mod n(n+2))$

4. Tìm p nguyên tố sao cho $5^{2p^{2}}\equiv 1 (mod p)$

5. Tìm tất cả số nguyên tố p,q,r thỏa mãn $p^{2}+q^{2}+r^{2}$  là số nguyên tố

6. Cho a,b là hai số nguyên dương sao cho 2a-1;2b-1;a+b là các số nguyên tố. CMR $a^{a}+b^{b} ; a^{b}+b^{a}$  đều không chia hết cho a+b.

7. Tìm số nguyên dương n sao cho $n=a^{2}+b^{2}$ với a,b là 2 số nguyên dương nguyên tố cùng nhau và ab chia hết cho mọi số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng $\sqrt{n}$

Cho a,b,c,m,n>0. Chứng minh rằng

                          $a^{m+n}+b^{m+n}+c^{m+n}\geq a^{m}b^{n}+b^{m}c^{n}+c^{m}a^{n}$

Bài 1 : Trong mặt phẳng cho 2015 điểm. Mỗi điểm là tâm một đường tròn đi qua một điểm cố định O. Cmr từ những hình tròn tạo ra có thể chọn được 5 hình tròn mà chúng phủ tất cả 2015 điểm
Bài 2: Cmr mọi tam giác có chu vi là 12cm và diện tích 6cm2 thì có thể chia thành 100 tam giác nhỏ mà mỗi tam giác nhỏ đó có chu vi lớn hơn 6cm và có ít nhất một trong chúng đặt được vào bên trong một hình chữ nhật chiều dài 6cm chiều rộng 0,06 cm

Bài 1 : Trong mặt phẳng cho 2015 điểm. Mỗi điểm là tâm một đường tròn đi qua một điểm cố định O. Cmr từ những hình tròn tạo ra có thể chọn được 5 hình tròn mà chúng phủ tất cả 2015 điểm
Bài 2: Cmr mọi tam giác có chu vi là 12cm và diện tích 6cm2 thì có thể chia thành 100 tam giác nhỏ mà mỗi tam giác nhỏ đó có chu vi lớn hơn 6cm và có ít nhất một trong chúng đặt được vào bên trong một hình chữ nhật chiều dài 6cm chiều rộng 0,06 cm