Ankh

Em tìm thấy rồi, cảm ơn anh

Với cả hình như vấn đề này cũng được anh Cẩn giải quyết dạng tương tự bằng cách chia trường hợp trong cuốn Cauchy-Schwarz rồi thì phải.

(Mod có thể xóa cái post cảm ơn này cũng được.)

m.n full giúp mk với         

 Sau khi thuần nhất thì nó trở thành $\sum a\sqrt{b^2+c^2}\leq \sqrt{2(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)}$

 Sử dụng C-S thì $\sum a\sqrt{b^2+c^2}\leq \sqrt{(a+b+c).\sum a(b^2+c^2)}$

 Cần chứng minh $(a+b+c).\sum a(b^2+c^2)\leq \sqrt{2(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)}\Leftrightarrow \sum 2ab(a-b)^2\geq 0$

Cho dãy số $(u_{n})$ thoả mãn điều kiện: $u_{1}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2},u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}}$ với mọi $n=1,2,...$. CMR: Dãy số $(u_{n})$ có giới hạn và tìm $lim2^{n}\sqrt{2-u_{n}}$

 Đặt $u_1=2\cos \dfrac{5\pi}{12}$ và sau đó quy nạp chứng minh được $u_n=2\cos \dfrac{5\pi}{3.2^{n+1}}$, rồi sử dụng giới hạn $\lim _{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}=1$ là xong

Tìm $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn:

$f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+f(x)+f(y)$ (1)

Với mọi $x,y$ thực

 Thay $y:=0$ vào (1) ta được $f(0)(f(x)-2)=0$, cho tiếp $x:=0$ suy ra $f(0)=0$ hoặc $f(0)=2$

 Với $f(0)=2$ thì suy ra $f(x)\equiv 2$

 Với $f(0)=0$, thay $x,y$ trong (1) bởi 2 suy ra $f(2)(f(2)-2)=0$

  - Nếu $f(2)=0$, thay $y=x=1$ vào (1) suy ra $f(1)=0$ hoặc $f(1)=3$

    Với $f(1)=3$, thay $y$ lần lượt bởi $1$ và $2$ vào (1) suy ra $f(x+1)+f(x)=3$ và $f(x+2)=f(2x)+f(x)$, suy ra $f\equiv 0$, vô lí

    Với $f(1)=0$, thay $y:=1$ vào (1) suy ra $f(x+1)=2f(x)$, thay tiếp $x:=x+1$ vào (1) ta có

     $f(x+y+1)+f(x+1)f(y)=f(xy+y)+f(x+1)+f(y)\Leftrightarrow f(xy+y)=2f(xy)+f(y)$, hay $f(x+y)=2f(x)+f(y)=f(x)+2f(y)$, suy ra $f$ hằng hay $f\equiv 0$

  - Nếu $f(2)=2$, thay $x,y$ trong (1) bởi 1 suy ra $f(1)=1$ hoặc $f(1)=2$ 

    Với $f(1)=2$, thay $y:=1$ vào (1) suy ra $f\equiv 2$, vô lí 

    Với $f(1)=1$, thay $y:=1$ vào (1) suy ra $f(x+1)=f(x)+1$ 

    Lại thay $x:=x+1$ vào (1) và biến đổi suy ra $f(xy+y)=f(xy)+f(y)$ hay $f(x+y)=f(x)+f(y)$, suy ra $f(xy)=f(x)f(y)$, với mọi $x,y\in \mathbb{R}$

    Từ đây suy ra $f(x)=x$ 

 Vậy có 3 nghiệm hàm thỏa mãn $f(x)\equiv 0, f(x)\equiv 2, f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$

1. PT: $f(f(x-y))+xy=f(x)-f(y)+f(x)f(y)$ (1)

Thay $x=y$ vào (1) ta được $f(x)^2=x^2+f(f(0)),\forall x\in \mathbb{R}$

 Suy ra $f(x)^2=f(-x)^2,\forall x\in \mathbb{R}$, giả sử tồn tại $\alpha \neq 0$ sao cho $f(\alpha)=f(-\alpha)$.

 Thay $y:=0$ vào (1) thì $f(f(x))=f(x)(f(0)+1)-f(0),\forall x\in \mathbb{R}$ (2)

 Thay $x:=0$ vào (1) thì $f(f(-y))=f(y)(f(0)-1)-f(0),\forall y\in \mathbb{R}$ (3)

 Từ (2) và (3) suy ra $f(-y)(f(0)+1)-f(0)=f(y)(f(0)-1)-f(0),\forall y\in \mathbb{R}$ (4)

 Thay $y:=\alpha$ vào (4) suy ra $f(\alpha)=f(0)\Rightarrow f(\alpha)^2=f(0)^2\Rightarrow \alpha ^2+f(f(0))=f(f(0))\Rightarrow \alpha =0$, vô lí.

 Do đó $f(x)=-f(-x),\forall x\in \mathbb{R}$, thay vào (4) suy ra $f(0)=0$ hoặc $f(y)\equiv 1$ (vô lí).

 Từ $f(0)=0$ suy ra $f(x)^2=x^2$ và $f(f(x))=f(x)$, từ đây suy ra $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$, thử lại thấy đúng