Ankh

 Cho các số thực dương $a,b,c$. Xét 3 số thực dương bất kì $m,n,p$, khi đó xác định giá trị lớn nhất $S=\dfrac{a}{ma+nb+pc}+\dfrac{b}{mb+nc+pa}+\dfrac{c}{mc+na+pb}$ theo $m,n,p$.

Mình nghĩ đây là vấn đề không mới, nhưng vẫn muốn tìm hiểu, mong nhận được lời giải đáp 

 Cho các số thực dương $a,b,c$ có tổng bằng 3. Chứng minh rằng với mọi $n\in \mathbb{N^*}$ thì 

$\dfrac{a}{(n-1)b^n+1}+\dfrac{b}{(n-1)c^n+1}+\dfrac{c}{(n-1)a^n+1}\geq \dfrac{3}{n}$

1. Cho các số dương $a,b,c$ và $k\geq 0$ thỏa mãn $(a+b+c)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=k+9$. Chứng minh rằng

\[\dfrac{k+6+\sqrt{k^2+36k+216-8\sqrt{(k+9)^3}}}{2}\geq \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geq \dfrac{k+6-\sqrt{k^2+36k+216-8\sqrt{(k+9)^3}}}{2}\]

2. Cho các số thực dương $a,b,c$ và $k\geq 0$ thỏa mãn $(a+b+c)\left (\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right )=k+9$. Chứng minh rằng \[\dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{abc} \leq \sqrt{k^2+36k+216-8\sqrt{(k+9)^3}}\]

2 bài này có cùng cách giải

 Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=4\sqrt{abc}$. Chứng minh $a+b+c>2\sqrt{abc}$