Thislife

Cho a,b,c,d không âm thỏa mãn: $a+b+c+d=4$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{3a^2+5}+\frac{b}{3b^2+5}+\frac{c}{3c^2+5}+\frac{d}{3d^2+5}\leq \frac{1}{2}$

Lg: Ta chứng minh $\frac{a}{3a^2+5} \leqslant \frac{1}{8} +\frac{a-1}{32} \Leftrightarrow  \frac{(a-1)^2(3a+15)}{32(3a^2+5)} \geqslant 0$

Làm tương tự với các biến còn lại rồi cộng lại ta có đpcm.

P\s : hình như em cuồng $U.C.T$ rồi ấy 

Cho a,b,c là các số thực dương. Cmr:
$(1+\frac{2a}{b})^2+(1+\frac{2b}{c})^2+(1+\frac{2c}{a})^2\geq \frac{9(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$

Giả sử  $c=min(a,b,c)$.

BĐT cần chứng minh tương đương:

$ 4(\frac{a^2}{b^2} +\frac{b^2}{c^2} +\frac{c^2}{a^2}-3)+4(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3)) \geqslant \frac{9((\sum a)^2 -3\sum ab)}{\sum ab}$

$\Leftrightarrow 4(\frac{(a-b)^2(a+b)^2}{a^2b^2}+\frac{(a-c)(b-c)(a+c)(b+c)}{a^2c^2})+4(\frac{(a-b)^2}{ab}+\frac{(a-c)(b-c)}{ac}) \geqslant \frac{9((a-b)^2 +(a-c)(b-c))}{ab+bc+ac}$

$\Leftrightarrow (a-b)^2(\frac{4(a+b)^2}{a^2b^2}+\frac{4}{ab} -\frac{9}{ab+bc+ac})+(a-c)(b-c)(\frac{4(a+c)(b+c)}{a^2c^2}+\frac{4}{ac} -\frac{9}{ab+bc+ac}) \geqslant 0$

Mà  ta lại  có : $\frac{4(a+b)^2}{a^2b^2} \geqslant \frac{16}{ab} >\frac{9}{ab+bc+ac}$

và $4(a+c)(b+c)(ab+bc+ac) > 4(ab+bc+ac)^2 \geqslant 4(2ac+bc)^2>9a^2c^2$ (do $c=min(a,b,c)$)

Cho nên ta có điều phải chứng minh , đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

Đây phải chăng là phương pháp U.C.T ?. Nếu thế thì bạn cho mình hỏi tư duy để suy ra $m=\frac{-9}{50}$ được không. Cám ơn

Ukm đúng $U.C.T$ rồi , chuyển sang thành :$\frac{(1-3x)(1+3x)}{10(x^2+1)} \leqslant m(3x-1)$

Hay là :$(3a-1)(m+\frac{(1+3a)}{10(a^2+1)}) \geqslant 0$

Lúc này thế  $a=\frac{1}{3}$ vào $\frac{(1+3a)}{10(a^2+1)} $ ta được bằng $\frac{9}{50}$.

$10h30'$ thôi , sắp rồi ...

Lâu rồi mới viết bài @-@

---------------------------

 

Dậy sớm thật!

Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{27}{10}$

Ta sẽ chọn $m$ để : 

$\frac{1}{a^2+1} \leqslant \frac{9}{10} +m(3a-1)(1)$

Dễ dàng chọn được $m=\frac{-9}{50}$, Thật vậy , khi $m=\frac{-9}{50}$ thì  ta có (1) tương đương với :

$$\frac{(3a-1)^2(4-3a)}{50(a^2+1)} \geqslant 0 $$

Làm tương tự rồi cộng vào ta có ngay điều phải chứng minh . 

Cho 3 số thực không âm a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca>0. CMR: $\frac{ab}{(a+b)^{2}}+\frac{bc}{(b+c)^{2}}+\frac{ca}{(c+a)^{2}}+\frac{5}{4}\geq \frac{6(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^{2}}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

$\sum \frac{ab}{(a+b)^2} -\frac{1}{4} +2(1-\frac{3(ab+bc+ac)}{(a+b+c)^2}) \geqslant 0$

$\Leftrightarrow -\sum \frac{(a-b)^2}{4(a+b)^2} +\sum \frac{(a-b)^2}{(a+b+c)^2} \geqslant0$

$\Leftrightarrow  \sum (a-b)^2(\frac{1}{(a+b+c)^2} -\frac{1}{4(a+b)^2} \geqslant 0$

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng :

 

$\frac{a+b}{bc+a^{2}}+\frac{b+c}{ca+b^{2}}+\frac{c+a}{ab+c^{2}}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

$\frac{bc-ab}{abc+a^3} +\frac{ac-bc}{abc+b^3}+\frac{ab-ac}{abc+c^3} \geq 0$

Ta đi tách :$\frac{ac-bc}{abc+b^3} = \frac{ac-ab+ab-bc}{abc+b^3}$

Lúc này chỉ cần chứng minh :$(ab-bc)(\frac{1}{abc+b^3}-\frac{1}{abc+a^3}) +(ab-ac)(\frac{1}{abc+c^3}-\frac{1}{abc+b^3}) \geq 0$ 

Mà nó tương đương với : $\frac{b(a-c)(a-b)(a^2+b^2+ab)}{(abc+b^3)(abc+c^3)}+\frac{a(b-c)^2(b^2+c^2+bc)}{(abc+c^3)(abc+b^3)}\geq 0$

Hiển nhiên đúng sau khi giả sử $a=max(a,b,c)$ hoặc $a=min(a,b,c)$

Bài toán: Giả sử $a,b,c,d,e \geq 0$ và $a+b+c+d+e=5$ .Chứng minh rằng:

$$abc+bcd+cde+dea+eab \leq 5 $$

Với các số thực dương $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ có tổng bằng $1$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$f=\frac{x_{1}}{\sqrt{1-x_{1}}}+\frac{x_{2}}{\sqrt{1-x_{2}}}+...+\frac{x_{n}}{\sqrt{1-x_{n}}}.$$

Đặt $B= \sum x_1(1-x_1) =1- \sum x_1^2$

Mà : $\sum x_1^2 \geq \frac{\sum x_1}{n} = \frac{1}{n} \rightarrow -\sum x_1^2 \leq -\frac{1}{n}  \rightarrow B\leq  \frac{n-1}{n} \rightarrow 1 \geq \frac{Bn}{n-1} $

Áp dụng bđt $Holder$ ta có:

$f^2B \geq (\sum x_1)^3=1 \geq \frac{Bn}{n-1}  $

Từ đây ta có $minf = \sqrt{\frac{n}{n-1}}$ 

Đẳng thức xảy ra khi các biến  bằng nhau và bằng $\frac{1}{n}$

có một cách giải khác không cần sử dụng hết điều kiện

ta có $3P^2=(1+1+1)(\sum a^3)(\sum a^3)\geq (\sum \sqrt[3]{a^6})^3=(\sum a^2)^3=27$

nên $P\geq 3$

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

đây là bđt holder

Anh Duy, Phát biểu tổng quát của bất đẳng thức $Holder$ là cho các bộ số dương mà từ điều kiện ( $ \geq \frac{-1}{2}$) thì  trong bài này ,anh không sử dụng bđt này được

      Câu 5 (1,5 điểm).

 

1.Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn : $abc=1$ . Chứng minh rằng:

 

$$\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2}\leq \frac{3}{4}$$

                                            

Đặt $(a,b,c) = (\frac{x}{y}, \frac{y}{z}, \frac{z}{x} )$ ,ta được :

$VT=\sum \frac{yz}{xy+xz+2yz} \leq \frac{1}{4} \sum (\frac{yz}{xy+yz} +\frac{yz}{yz+xz} )= \frac{1}{4} \sum (\frac{z}{x+z} +\frac{y}{x+y} )= \frac{3}{4}$

vai trò x,y,z không đổi nên ko mất tính tổng quát ta giả sử á bạn

Bài thử thay $(x,y,z)$ thành $(z,y,x) $ đi .Nó trở thành một biểu thức khác nên không thể nói là vai trò của x,y,z không đổi được 

 

Câu 5(1đ)

Cho các số duơng x,y. Tìm GTNN của biểu thức 

$P=\frac{2}{\sqrt{(2x+y)^3+1}-1}+\frac{2}{\sqrt{(x+2y)^3+1}-1}+\frac{(2x+y)(x+2y)}{4}-\frac{8}{3(x+y)}$

Ta có :$P \geq \frac{4}{(2x+y)^2} +\frac{4}{(x+2y)^2} +\frac{(2x+y)(x+2y)}{4} -\frac{8}{3(x+y)}$

Sau khi đặt (2x+y,x+2y) thành (a,b) ta được :

$ P \geq \frac{4}{a^2} + \frac{4}{b^2} +\frac{ab}{4} -\frac{8}{a+b} \geq \frac{8}{ab} +\frac{ab}{4}-\frac{4}{\sqrt{ab}} \geq 2 +4(\frac{1}{\sqrt{ab}} -\frac{1}{2} )^2 -1 \geq 1 $

 

        ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN                                            ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

           THPT KHOA HỌC TỰ NHIÊN                                                THPT CHUYÊN NĂM 2016-2017

                                                                                                                  Môn:Toán (Vòng 1)

                                                                                        Thời gian làm bài 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

 $\boxed{\textrm{ĐỀ THI CHÍNH THỨC}}$

 

Câu 1 (3,5 điểm)

 

1)Giải hệ phương trình :

 

$$\left\{\begin{matrix} x^3+y^3+xy(x+y)=4 (1)& & \\ (xy+1)(x^2+y^2)=4 & & \end{matrix}\right.$$

 

2)Giải phương trình:

$$\sqrt{7x+2}-\sqrt{5-x}=\frac{8x-3}{5}$$

 

Câu 1: 1,Xét x,y=0 không thỏa mãn, xét x,y khác 0 :

$\begin{cases} (x+y)(x^2 +y^2) =4 \\ (xy+1)(x^2+y^2)=4 \end{cases} $

$$\Rightarrow x+y=xy+1 $$

Đặt: $x+y=a , (1) \rightarrow a^3 -2a^2 +2a -4 =0 \leftrightarrow (a-2)(a^2 +2)=0$

2, Đặt :$\begin{cases} \sqrt{7x+2} =a (a\geq 0) \\ \sqrt{5-x}=b(b\geq 0) \end{cases} $

Ta được $a^2-b^2 =8x-3$

Pt $\leftrightarrow (a-b)(a+b-5) =0 $

mình xin trả lời 2 câu đó

1. Thi chuyên để có nhiều điều kiện học tốt hơn môn đó, và để dễ thi đại học (theo mình nhận thấy tỉ lệ đậu đại học của lớp chuyên toán tỉnh mình là 100%)

2. Vào đại học rồi để sau này dễ xin việc làm hơn (vào đại học mà học tốt và có nhiều kinh nghiệm thì luôn dễ xin việc làm hơn)

Đề xuất thêm câu hỏi thứ 3, 

3. Có việc làm tốt để làm gì ?

Có việc làm tốt để có cuộc sống tốt hơn cho bản thân gia đình và xã hội, góp phần lớn xây dựng quê hương đất nước 

$\Rightarrow$ Làm tròn trách nhiệm và nghĩa vụ công dân.

Mình rất đồng ý với ý kiến của bạn và mình muốn nói thêm là : đó cũng là cách nghĩ chung của đa số học sinh và phụ huynh hiện nay họ thườngg muốn cho con mình vào những trường đại học ổn định để sau nay ra đỡ phải đi xin việc .Tại sao họ lại có những ý nghĩ như vậy chẳng phải là họ đã nhìn thấy nhiều người không thành công và họ tin là sẽ không thể nào đạt được những thành công vượt bậc,, vào đại học rồi kiếm việc làm tổng cộng là 9+3+3(>3) năm . Cuối cùng việc làm cũng chỉ là một phát minh của thế kỉ 20,21 .Tại sao chúng ta lại phải vào đại học? để dễ xin việc hơn ư.Chẳng phải làm tất cả những việc như học hành chăm chỉ , kiếm được công việc ôn định,...  thì mục đích chính của chúng ta  là hạnh phúc . Chẳng phải nhiều người thành công , giàu nhất trên thế giới thường bỏ học hay sao, câu hỏi đặt ra là : phải chăng vì ở trường người ta không dạy cho họ những phương pháp phù hợp để hạnh phúc , giàu có , thành công thực sự? . Nhiều trường đại học ở VN hiện nay chỉ dạy chúng ta những quấn giáo trình dày đặc mà không chịu học tập (mô phỏng ) các phương pháp tiên tiên trên thế giới.Vd: như pp học tiếng anh ở (90%) trên đất nước ta là chỉ học tiếng anh theo kiểu "văn phiên bản tiếng anh" , hầu hết khi chúng ta học xong 12 năm thì  chỉ có 1 số ít có thể nói tiếng anh(chưa thành thạo), số ít thì nói lấp bấp , số ít thì chỉ biết trả lời những câu hỏi trên giấy là vì có thời gian suy nghĩ còn khi nói thì hầu như không biết gì, các phương pháp tiên tiến hiện nay có thể kể đến là effortless english của thầy aj hoge , các khóa học tiếng anh của langmaster và nhiều nơi khác, cũng phải kể đến pp "thôi miên " , NLP ( ở Việt Nam hiện nay có thầy Mr.Vas và 1 số thầy khác đang dạy truyền bá cho ng VN về pp NLP này , tiêu biểu là các khóa hội thảo và để thực sự chiến thắng cuộc sống thì phải tốt nghiệp trường "đại học cuộc đời "),.... Các bạn hay nghiêm túc suy nghĩ về cuộc đời của mình , đừng để số phận hiện tại hay ai có thể ngăn cản bạn ,đừng nghe những người không làm được vì họ sẽ bảo bạn là bạn không làm được , hãy tiếp xúc với những người thành công thực sự để họ có thể khơi dậy nguồn hứng cho các bạn.

Câu hỏi thứ 4: Các bạn thành công để hạnh phúc hay hạnh phúc để thành công?