HoangKhanh2002

Giải bất phương trình:

$\frac{x-\sqrt{x}}{1-\sqrt{2(x^{2}-x+1)}}\geq 1$

ĐK: $x \geq 0$

Ta có: $1-\sqrt{2(x^2-x+1)}\leq 1-\sqrt{2.\dfrac{3}{4}}<0$

Do đó, BPT tương đương: $x-\sqrt{x}\leq 1-\sqrt{2(x^2-x+1)}$

Nhận thấy $x=0$ không là nghiệm của BPT, chia cả 2 vế cho $\sqrt{x}$ ta có:

$\sqrt{x}-1\leq \dfrac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{2\left(x+\dfrac{1}{x}-1\right)} \\\Leftrightarrow \left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)+\sqrt{2\left(x+\dfrac{1}{x}-1\right)}\leq 1$

Giờ chỉ cần đặt $t=\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}$, tự giải tiếp nhé

Tính định thức: $D=\begin{bmatrix} a &1 \\ 1& a \end{bmatrix}$

$D=0\Leftrightarrow a=\pm 1$

+) Với mọi $a\neq \pm 1$, hệ có nghiệm với mọi $b$

+) Với $a=1$ hệ trở thành: $\left\{\begin{matrix} x+y=b\\ x+y=c^2+c \end{matrix}\right.$

Hệ này có nghiệm khi: $D_{x}=D_{y}=0\Leftrightarrow c^2+c-b=0$

PT này có nghiệm khi: $1+4b\geq 0\Leftrightarrow -\dfrac{1}{4}\leq b$

+) Với $a=-1$, hệ trở thành: $\left\{\begin{matrix} -x+y=b\\ x-y=c^2+c \end{matrix}\right.$

Hệ này có nghiệm khi: $D_{x}=D_{y}=0\Leftrightarrow c^2+c+b=0$

PT này có nghiệm khi: $1-4b\geq 0\Leftrightarrow b\leq \dfrac{1}{4}$

Do đó các giá trị $b$ cần tìm là $\left [ -\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4} \right ]$

 

Định tham số m để hệ có nghiệm duy nhất:

\[\left\{\begin{matrix} &xy+x^{2}=m(y-1) & \\ & xy+y^{2}=m(x-1) & \end{matrix}\right.\]

 

Thế này nhé

ĐK cần:

Đây là hệ đối xứng loại 2, nên nếu nó có nghiệm $\left ( x_{0} ;y_{0}\right )$ thì cũng sẽ có nghiệm $\left ( y_{0} ;x_{0}\right )$. Để nó có nghiệm duy nhất thì $x_{0}=y_{0}$

Thay vào hệ ban đầu: $2x_{0}^2-mx_{0}+m=0$. PT này có nghiệm duy nhất: $\Leftrightarrow m^2-8m=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} m=0\\ m=8 \end{bmatrix}$

ĐK đủ:

Thay từng giá trị $m$ vào rồi giải và kết luận

nếu mà t/h x=y vô nghiệm và t/h còn lại có nghiệm thì sao 

Mình hiểu ý bạn nhưng nó chỉ áp dụng cho hệ bậc 3 trở lên thôi.

Chứng minh AB,CD,EF đồng quy 

Giả sử $AB$ cắt $CD$ tại $I$, suy ra: $I$ thuộc trục đẳng phương của 3 đường tròn hay $I$ cũng thuộc $EF$

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng

$\frac{1}{{\sqrt {{a^5} + {b^2} + ab + 6} }} + \frac{1}{{\sqrt {{b^5} + {c^2} + bc + 6} }} + \frac{1}{{\sqrt {{c^5} + {a^2} + ac + 6} }} \le 1$

Bất đẳng thức phụ: $x^5-x^2+3\geqslant 3x$, chứng minh bằng biến đổi tương đương: $\Leftrightarrow (x-1)^2(x^3+2x^2+3x+1)\geqslant 0$ luôn đúng

Đánh giá: $a^5+b^2+ab+6=(a^5-a^2+3)+(a^2+b^2)+ab+3 \geqslant 3a+3ab+3=3(a+ab+1)$. Tương tự với 2 cái kia

Do đó: $\frac{1}{{\sqrt {{a^5} + {b^2} + ab + 6} }} + \frac{1}{{\sqrt {{b^5} + {c^2} + bc + 6} }} + \frac{1}{{\sqrt {{c^5} + {a^2} + ac + 6} }} \\\leqslant \sqrt{3\left ( \dfrac{1}{a^5+b^2+ab+6}+\dfrac{1}{b^5+c^2+bc+6}+\dfrac{1}{c^5+a^2+ac+6} \right )}\\\leqslant \sqrt{\dfrac{1}{3(a+ab+1)}+\dfrac{1}{3(b+bc+1)}+\dfrac{1}{3(c+ca+1)}}=1$

Vì với $abc=1$ dễ chứng minh được: $\dfrac{1}{a+ab+1}+\dfrac{1}{b+bc+1}+\dfrac{1}{c+ca+1}=1$